Kezdőlap


Feladat:	Gy.2279	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bíró András
Füzet:	1986/március, 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlőtlenségek, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/szeptember: Gy.2279

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a keresett szám tízes számrendszerbeli alakjában a jegyek helyi érték szerint rendre $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n}$ , akkor egyfelől $0 ≦ a_{i} ≦ 9$ , $a_{n} \neq 0$ , másrészt a feltételek szerint

\begin{matrix} a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n - 1} \cdot 10^{n - 1} + ... + a_{1} \cdot 10 + a_{0} = a_{n}^{2} + a_{n - 1}^{2} + ... + a_{0}^{2} + 1. \end{matrix}

Rendezés után

\begin{matrix} a_{n} (10^{n} - a_{n}) + a_{n - 1} (10^{n - 1} - a_{n - 1}) + ... + a_{1} (10 - a_{1}) = a_{0} (a_{0} - 1) + 1 \end{matrix}

(1)

adódik. Itt a jobb oldal

a_{0} = 9

esetén a legnagyobb, értéke ekkor

73

. A bal oldal legalább

a_{n} (10^{n} - a_{n})

. Mivel

1 ≦ a_{n} ≦ 9

, ezért

\begin{matrix} (a_{n} - 1) (10^{n} - a_{n} - 1) ≧ 0, ha n ≧ 1. \end{matrix}

Beszorzás és rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} a_{n} (10^{n} - a_{n}) ≧ 10^{n} - 1, \end{matrix}

így (1) szerint

\begin{matrix} 73 ≧ 10^{n} - 1, \end{matrix}

vagyis

n

legfeljebb

1

lehet, a keresett szám ezért legfeljebb kétjegyű. (1)-ből ekkor

\begin{matrix} a_{1} (10 - a_{1}) = a_{0} (a_{0} - 1) + 1 \end{matrix}

(2)

adódik.
A (2) jobb oldalán páratlan szám áll,

a_{1}

tehát páratlan.

a_{1} (10 - a_{1}) - 1

lehetséges értékei innen

8

20

vagy pedig

24

. Ezek közül csak a

20

írható fel két szomszédos egész szám szorzataként,

20 = 5 \cdot 4

, vagyis

a_{0} = 5

, ahonnan

a_{1} = 3

vagy pedig

a_{1} = 7

.
A feladatnak tehát két megoldása van, a

35

és a

75