Feladat: Gy.2274 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bakura Z. ,  Beke T. ,  Benczúr András ,  Binder Zsuzsanna ,  Bobok G. ,  Bognár Zs. ,  Both 131 Emőke ,  Bukszár J. ,  Cseke Z. ,  Csott R. ,  Cynolter G. ,  Deák 968 F. ,  Deák T. ,  Drasny G. ,  Habony Zs. ,  Hadnagy Éva ,  Hajdú G. ,  Hantosi Zs. ,  Héjj T. ,  Hetényi Zs. ,  Horváth E. ,  Janszky J. ,  Juhász A. ,  Kálmán E. ,  Kántor A. ,  Károlyi Gy. ,  Kárpáti M. ,  Kis Petik Katalin ,  Kovács 123 L. ,  Köröndi Enikő ,  Lebocz S. ,  Ledeczky G. ,  Lőrincz Zs. ,  Majoros L. ,  Makó B. ,  Mikusi Cs. ,  Oláh Gy. ,  Pál G. ,  Rimányi R. ,  Sass B. ,  Szabó 522 Beáta ,  Szakállas Sz. ,  Szanyi P. ,  Szilágyi A. ,  Szoboszlai E. ,  Tasnádi T. ,  Tavaszi G. ,  Tornyi L. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1985/december, 455 - 456. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Beírt kör, Hossz, kerület, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/május: Gy.2274

Az ABC háromszögbe írt kör a BC oldalt a D pontban érinti. A D ponthoz tartozó átmérő átellenes pontja E,AE és BC metszéspontja F. Bizonyítsuk be, hogy BF=DC.

A beírt kör E pontjában húzott e érintője párhuzamos a BC oldallal, hiszen mint átmérő, ED mindkettőre merőleges. Az ABC háromszög tehát az e érintő által az A csúcsú szögtartományból lemetszett háromszög A-ból nagyított képe. A nagyítás során az E képe az F, a beírt kör pedig a BC oldal hozzáírt körébe megy át, amely így éppen az F pontban érinti a BC oldalt. Jelöljük a hozzáírt kör érintési pontját az AB oldalegyenesen U-val, az AC-n pedig V-vel.
 
 

Ismeretes, hogy mivel külső pontból egy körhöz egyenlő hosszú érintők húzhatók, az ábra jelölései mellett AU=AV=s, az ABC háromszög kerületének fele, továbbá CD=s-AB. Felhasználva még, hogy BF=BU és BU=AU-AB, a BF szakasz hosszára is s-AB adódik, tehát valóban BF=CD.