A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Legyen legalább kétjegyű szám, azaz és . Ha -ból kivonjuk a jegyeinek az összegét, akkor a kapott számban egyrészt , másrészt nem negatív. Ez azt jelenti, hogy az eljárás egy lépése után kapott számban legalább -gyel kisebb, mint -ban az . Mivel kezdetben háromjegyű számunkra legfeljebb , így eljárásunk legfeljebb lépés után egyjegyű számhoz vezet, a következő lépésben pedig ebből nulla lesz. Ha még nem tartanánk a századik lépésnél, akkor ezután már minden további lépésben nulla lesz az eredmény. II. megoldás. Ha a háromjegyű számból kivonjuk a jegyeinek az összegét, -t, akkor eredményül | | (1) | tehát -cel osztható számot kapunk. Így az első lépés után kapott szám osztható -cel, értéke pedig legfeljebb . Elegendő most már azt igazolnunk, hogy egy -nél nem nagyobb, -cel osztható számból kiindulva, a lépésben -t kapunk eredményül. Mivel esetén , így minden lépésben vagy a korábbinál kisebb pozitív számot kapunk, vagy pedig -t. Mivel -cel osztható szám jegyeinek összege is osztható -cel, az első lépés után a szóban forgó szám mindig a többszörösével csökken -cel vagy -cal, így továbbra is osztható marad -cel. Ha most jelöli az első lépés után kapott számot és , akkor legfeljebb lépésben valóban eljutunk a -hoz. Ha , akkor legfeljebb négy lépésben ‐ ugyanis -nél nagyobb számokra lépésenként -at vonunk le ‐ , vagy pedig adódik, a következő lépésben pedig . Elegendő tehát megmutatnunk, hogy -re -szer alkalmazva eljárásunkat, eljutunk a nulláig. A sorozat mutatja, hogy további lépés után a -hez jutunk, ahonnan pedig legfeljebb lépéssel valóban elérjük a -t. Ezzel az állítást igazoltuk.
Megjegyzés. A második megoldásból kiderül, hogy az első lépés után a szám lépésenként -cel vagy -cal csökken, így várhatóan már -nál kevesebb lépésben is elérjük a nullát. Valóban megmutatható, hogy ehhez már lépés is elegendő.
|