Feladat: Gy.2271 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Cynolter Gábor 
Füzet: 1986/január, 22. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Derékszögű háromszögek geometriája, Indirekt bizonyítási mód, Terület, felszín, Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Pitagoraszi számhármasok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/május: Gy.2271

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a befogók hosszát a,illetve b, az átfogóét pedig c. Pitagorasz tétele szerint ekkor

a2+b2=c2.(1)

Egy négyzetszám 0,1 vagy pedig 4 maradékot adhat 5-tel osztva. Ha a és b egyike sem osztható 5-tel, akkor (1) bal oldala 5-tel osztva 2 (1+1 alakban), 0 (1+4 alakban) vagy pedig 3 (4+4 alakban) maradékot adhat. Mivel a 2 és a 3 nem lehet négyzetszám ‐ c2 ‐ maradéka 5-tel osztva, 0-t pedig a feltétel zárja ki, így ha az átfogó hossza nem osztható 5-tel, akkor valamelyik befogó hossza lesz 5-tel osztható.
Ha mindkét befogó hossza páros, akkor szorzatuk osztható 4-gyel. Azt állítjuk, hogy ez abban az esetben is igaz, ha van páratlan befogó.
Először is vegyük észre, hogy mindkét befogó nem lehet páratlan. Ekkor ugyanis (1)-ben a2+b2 páros, és így c2 páros négyzetszámként osztható 4-gyel, míg a2 és b2 4-gyel osztva 1‐1, összegük tehát 2 maradékot ad. Ekkor viszont (1)-ben nem állhat egyenlőség.
Ha most az egyik befogó ‐ például a ‐ páratlan, akkor tehát b páros, c pedig páratlan. (1)-ből
b2=(c+a)(c-a).(2)

Itt a jobb oldal mindkét tényezője páros. Ha egyikük sem osztható 4-gyel, akkor 2‐2 maradékot adnak 4-gyel osztva, így összegük, 2c osztható 4-gyel. Így viszont c páros volna, ez pedig nem igaz.
(2)-ben tehát a jobb oldal osztható 23=8-cal is. Tudjuk, hogy egy négyzetszám ‐ jelen esetben b2 ‐ prímtényezős felbontásában minden prímszám páros kitevőn szerepel. Ez azt jelenti, hogy b2 oszható 24-nel is, b tehát osztható 4-gyel.
Ezzel beláttuk, hogy ha (1) teljesül, akkor ab osztható 4-gyel. A háromszög területe, ab/2 így páros szám. Mivel pedig van 5-tel osztható befogó, a terület osztható 2⋅5=10-zel is, mérőszámának utolsó számjegye tehát 0.
 

Megjegyzés. Az állítás ‐ miszerint egyrészt minden pitagoraszi számhármasban van 5-tel osztható szám, másrészt a befogók szorzata 4-gyel osztható ‐ második fele a pitagoraszi számhármasok ismert jellemzése alapján is könnyen megmutatható. A szóban forgó jellemzés szerint a pitagoraszi számhármasok felírhatók a=k(u2-v2), b=2k⋅uv és c=k(u2+v2) alakban, ahol k tetszőleges természetes szám, u és v pedig különböző paritású relatív prímek, amelyekre u>v. Lásd pl. Rademacher-Toeplitz: Számokról és alakzatokról című művét.