Feladat: Gy.2267 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kós Géza 
Füzet: 1986/január, 19 - 20. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatok hasonlósága, Négyszögek geometriája, Síkgeomertiai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeomertiai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szinusztétel alkalmazása, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/április: Gy.2267

Az ABCD konvex négyszög A-nál levő 60-os szögét az AC átló felezi, továbbá ACD=40 és ACB=120. A négyszög belsejében a P pont úgy helyezkedik el, hogy PDA=40 és PBA=10. Bizonyítsuk be, hogy P az AC átló pontja.

I. megoldás. A P pont pontosan akkor van az AC átlón, ha a DP egyenes AC-vel való P1 metszéspontja és a BP egyenes AC-vel való P2 metszéspontja egybeesik: P1=P2 (1. ábra). Ehhez elég belátni, hogy CP1=CP2.
 
 
1. ábra
 

Az ACD háromszögben CAD=30 és DCA=40, ezért az ADC=110, és így a P1DC=70. Ezért CP1D=70, és így a CDP1 háromszög egyenlő szárú, vagyis CD=CP1.

Írjuk föl a szinusztételt az ACD háromszögre! CDCA=sin30sin110.

A két egyenletből :
CP1=CD=CAsin30sin110=CA2sin110=CA2sin70=CA2cos20.(1)

Az ABC háromszög is egyenlő szárú, ezért CA=CB.

Írjuk föl a BCP2 háromszögre is a szinusztételt! CP2CB=sin20sin40.
Az utóbbi egyenletből :
CP2=CBsin20sin40=CBsin202sin20cos20=CB2cos20=CA2cos20.(2)
(1) és (2)-ből pedig CP1=CP2, és ezt akartuk igazolni.
 

II. megoldás. Tekintsük az O középpontú P1P2...P18 szabályos 18-szöget (2. ábra). Tükrözzük az OP18 sugarat a P4P16 egyenesre ! Ez a tengely a szabályos P4P10P16 háromszög egyik oldala, így O tükörképe P1 és ‐ P18 tükörképét P'18-vel jelölve ‐ OP1P'18=P1OP18=20. Ez azt is jelenti, hogy a P1P'18 egyenes átmegy P12-n. Másrészt OP2 és a rá szimmetrikus P4P16, P6P18 egyenesek is egy ponton, R-en mennek át.
 
 
2. ábra
 

Tekintsük most a P18P12OR négyszöget! Mivel a kerületi és középponti szögek tétele szerint  OP18P12=30, P18P12Q=10, P18P12O=30, P18OR=40 és a P4P6R háromszögből P18RQ=P4RP6=40. Tehát a P18P12OR négyszög hasonló a feladatban szereplő ABCD négyszöghöz, továbbá a P pont megfelelője éppen a Q pont, amely valóban rajta van az QP18 átlón. Ebből pedig már következik a feladat állítása.
 

 Kós Géza (Bp. Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)
 
Megjegyzés. Csak kevesen vették észre, hogy a feladat szoros kapcsolatban van Csirmaz László: Egy geometriai feladatról c. cikkével (ugyanaz a szám, 1985. április, 147. old.). Feltehetően nem véletlenül. Az az 5 beküldő, aki a cikkben rejlő ötletet felhasználta, eljutott a feladat előbbi igen egyszerű és elegáns megoldásához.