Ha $m$ nem négyzetszám, akkor legyen $d^2<m<{\left(d+1\right)}^2$. Ekkor $m=d^2+k$, ahol $0<k<2d+1$. Így $\left[\sqrt[]{m}\right]=d$, vagyis $f\left(m\right)=d^2+k+d$. $f\left(f\left(m\right)\right)$ értéke attól függ, hogy$f\left(m\right)$ túllépi-e a következő négyzetszámot, ${\left(d+1\right)}^2$-t. Ha még $k+d<2d+1$, azaz $k<d+1$, akkor $\left[\sqrt[]{f\left(m\right)}\right]$ még mindig $d$, így $f\left(f\left(m\right)\right)=d^2+k+2d={\left(d+1\right)}^2+\left(k-1\right)$.
Ha tehát $m$ és a nála kisebb legnagyobb négyzetszám eltérése nem nagyobb, mint $\left[\sqrt[]{m}\right]$, akkor $f\left(f\left(m\right)\right)$ esetén ugyanez az eltérés eggyel csökken. Ez azt jelenti, hogy gondolatmenetünk $f\left(f\left(m\right)\right)$-ből indulva ismételhető, vagyis az említett eltérés minden második $f$ értékre egyesével csökken. Előbb-utóbb tehát nullává válik, azaz a sorozat megfelelő eleme négyzetszám.
Esetünkben $m=1111={33}^2+22$, vagyis teljesül, hogy