Kezdőlap


Feladat:	Gy.2263	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Olasz-Szabó Mihály
Füzet:	1985/október, 312 - 313. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Hossz, kerület, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/április: Gy.2263

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a sokszög oldalai rendre $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{1985}$ cm hosszúak. Megmutatjuk, hogy van két olyan szomszédos oldal, amelyek hosszának összege kisebb, mint $2 \sqrt[]{2}$ cm. Tegyük fel, hogy nem, ekkor

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} ≧ 2 \sqrt[]{2}, \\ a_{2} + a_{3} ≧ 2 \sqrt[]{2}, \\ ⋮ \\ a_{1984} + a_{1985} ≧ 2 \sqrt[]{2}, \\ a_{1985} + a_{1} ≧ 2 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ezeket összeadva

\begin{matrix} 2 \cdot 2800 = 2 (a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{1985}) = (a_{1} + a_{2}) + \\ + (a_{2} + a_{3}) + ... + (a_{1984} + a_{1985}) + (a_{1985} + a_{1}) ≧ 1985 \cdot 2 \sqrt[]{2} > 564, \end{matrix}

ellentmondás. Tehát van olyan két szomszédos oldal ‐ legyenek ezek

A B

és

B C

‐, amelyek hosszának összege kisebb

2 \sqrt[]{2}

cm-nél:

A B + B C < 2 \sqrt[]{2}

.
Állítjuk, hogy az

A B C

háromszög területe kisebb

1 {cm}^{2}

-nél. A háromszög területe legfeljebb akkora, mint két oldal szorzatának fele:

\begin{matrix} T ≦ \frac{1}{2} A B \cdot B C ≦ \frac{1}{2} {(\frac{A B + B C}{2})}^{2}, \end{matrix}

a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint, vagyis

A B + B C < 2 \sqrt[]{2}

alapján

T < \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

. Az

A B C

háromszög tehát eleget tesz a feladat követelményeinek. Kicsit többet láttunk be, mint amennyit a feladat kért, nevezetesen a sokszögnek mindig van három szomszédos csúcsa is, amelyek egy

1 {cm}^{2}

-nél kisebb területű háromszöget adnak.