| Feladat: | Gy.2260 | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: átlagos |
| Megoldó(k): | Sármezei Csaba | ||
| Füzet: | 1987/november, 385 - 386. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Pont körüli forgatás, Középvonal, Súlyvonal, Négyzetek, Négyszögek geometriája, Gyakorlat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1985/március: Gy.2260 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek a négyszög csúcsai , , , , a négyzetek középpontjai , , , és pedig a , illetve oldalra írt négyzetek -vel, illetve -val átellenes csúcsai. Jelöljük az , , , szakaszok felezőpontjait rendre , , , -gyel. Azt kell megmutatnunk, hogy az négyszög szomszédos oldalai egymásra merőlegesek és egyenlő hosszúak.  Az háromszöget a pont körül pozitív irányban -kal elforgatva az háromszöget kapjuk, ezért és egymásra merőleges, egyenlő hosszúságú szakaszok. Ekkor viszont az és ‐ mint az , illetve háromszögek középvonalai ‐ szintén egyenlő hosszúak és egymásra merőlegesek. Ugyanígy kapjuk, hogy az és az szakaszok is egyenlő hosszúak és egymásra merőlegesek. Ez azt jelenti, hogy a háromszöget körül pozitív irányban -kal elforgatva éppen a háromszöget kapjuk. Ekkor viszont a két háromszög csúcshoz tartozó súlyvonalai is egymás -os elforgatottjai, vagyis az és szakaszok egymásra merőlegesek és egyenlő hosszúak. Hasonlóképp látható ez az és szakaszokról is, ami azt jelenti, hogy az négyszög valóban négyzet. Ezzel állításunkat beláttuk. Megjegyzés. A feladatot sokan vektorok vagy komplex számok segítségével oldották meg. |