Feladat: Gy.2259 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Binder Zsuzsanna ,  Cynolter Gábor ,  Fleiner T. ,  Gyuris V. ,  Habony Zs. ,  Majoros L. ,  Mándy A. ,  Máté Nóra ,  Rimányi R. ,  Varga Z. ,  Varga Zs. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1986/április, 167 - 168. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Pont körüli forgatás, Tengely körüli forgatás, Húrnégyszögek, Tetraéderek, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: Gy.2259

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat állítása általában nem igaz! Az alábbi "bizonyítási kísérlet'' során kiderül, hogy milyen kiegészítő feltételre van szükség, illetve ennek hiányában hogyan készíthető ellenpélda.
Az ABF sík pontosan akkor merőleges CD-re, ha A és B illeszkednek a CD felező merőleges síkjára, ami pedig akkor és csak akkor igaz, ha az ABC és az ABD háromszögek tükrös helyzetűek erre a síkra nézve.
A feltétel szerint a két háromszögben egyenlő a közös AB éllel szemközti szög. Mivel CD merőleges AB-re, ezért létezik a CD-n átmenő AB-re merőleges S sík (1. ábra). Ha tehát az ABD háromszöget AB körül forgatjuk, a D csúcs ebben a síkban mozog.

 
 
1. ábra
 

Forgassuk el az ABD háromszöget az AB egyenes körül az ABC háromszög síkjába úgy, hogy a D pont D' elforgatottja és C az AB-nek ugyanarra a partjára essék! A bizonyítandó állítás pontosan akkor igaz, ha D' és C egybeesnek.
A megadott szögek egyenlőségéből következik, hogy D'-ből és C-ből egyenlő szögben látszik az AB szakasz, a két pont tehát rajta van az AB végpontú, ACB szögű látóköríven. Mivel pedig mindkét pont illeszkedik az S síkra, C-vel együtt D' is rajta van S és az ABC sík metszésvonalán, pontosabban a TC félegyenesen, ahol T az S és az AB metszéspontja.
 
 
2. ábra
 

Mármost ha ez az AB-re merőleges félegyenes csak egy pontban metszi a szóban forgó látókörívet, akkor D' valóban azonos C-vel és így a feladat állítása is igaz (2. ábra). Ha azonban T nincs az AB szakaszon, vagyis az ABC háromszögben az A vagy a B csúcsnál tompaszög van, akkor a félegyenesnek két pontja is lehet a köríven (3. ábra). Ebben az esetben pedig példát készíthetünk az eredeti állítás cáfolatához is.
 
 
3. ábra
 

A 3. ábrán ACB∢=AD*B∢, hiszen ABCD* húrnégyszög. Mivel pedig D*C merőleges az AB-re, az AB körül tetszőleges szöggel elforgatott ABD* háromszög D csúcsa mindig benne lesz az AB-re merőleges, AB-t CT-ben metsző S síkban. Az így kapott ABCD tetraéderben tehát teljesülnek a feltételek, a bizonyítandó állítás azonban nem igaz, mert az ABC és az ABD háromszögek nem egybevágók.
A fentiekből kiolvasható, hogy a megadott feltételek mellett a bizonyítandó állítás pontosan akkor teljesül, ha a tetraédernek az AB élre illeszkedő lapjain az A és a B csúcsoknál nincs tompaszög.
 


Megjegyzések. 1. Az állítás általános érvényét egyetlen ellenpélda megdöntheti.
 
 
4. ábra
 

Tekintsük a következő példát (4. ábra). Ha DAB tompaszög (és akkor CAB is), előfordulhat, hogy TC=10⋅TD*. Állítsuk meg az ABD* háromszög forgatását abban a helyzetben, amikor TD merőleges az ABC síkra, és szemléljük az alakzatot az S síkra merőleges irányból. Ekkor a kérdéses síkot a TF egyenesben (élben) látjuk. DFT szög pedig a sík TF egyenesének CD-vet bezárt szöge, valódi nagyságban.
Erre az esetre nyilvánvalónak mondható, hogy a DFT szög nem derékszög. Márpedig a CD egyenes akkor és csak akkor merőleges az ABF síkra, ha annak minden egyenesére merőleges.
2. Tulajdonképpen a következőket használtuk fel. Keresve azon P pontok halmazát, amelyekből egy adott AB szakasz látószöge egy adott γ szög, a válasz ‐ fokozatokban ‐ a következő:
 

a) az AB-n átmenő bármely síkban, az AB egyenes előírt partján: a hagyományos, jól meghatározott körív;
 

b) a síkban, az AB egyenes mindkét partján az AB-re tükrös körívpár; amely γ=90∘ esetén a Thalész-körré áll össze;
 

c) a térben az első körív által leírt forgásfelület, ha azt AB mint tengely körül forgatjuk (tórusz, γ=90∘ esetén gömb, γ>90∘ esetében olyan, mint egy "szilvamag'', γ>90∘ mellett a tórusznak van két olyasmi "gödröcskéje'', mint az almacsutka környezete).