|
Feladat: |
Gy.2259 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Benczúr A. , Bereczky Á. , Binder Zsuzsanna , Cynolter Gábor , Fleiner T. , Gyuris V. , Habony Zs. , Majoros L. , Mándy A. , Máté Nóra , Rimányi R. , Varga Z. , Varga Zs. , Zaránd G. |
Füzet: |
1986/április,
167 - 168. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek egybevágósága, Pont körüli forgatás, Tengely körüli forgatás, Húrnégyszögek, Tetraéderek, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1985/március: Gy.2259 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat állítása általában nem igaz! Az alábbi "bizonyítási kísérlet'' során kiderül, hogy milyen kiegészítő feltételre van szükség, illetve ennek hiányában hogyan készíthető ellenpélda. Az sík pontosan akkor merőleges -re, ha és illeszkednek a felező merőleges síkjára, ami pedig akkor és csak akkor igaz, ha az és az háromszögek tükrös helyzetűek erre a síkra nézve. A feltétel szerint a két háromszögben egyenlő a közös éllel szemközti szög. Mivel merőleges -re, ezért létezik a -n átmenő -re merőleges sík (1. ábra). Ha tehát az háromszöget körül forgatjuk, a csúcs ebben a síkban mozog.
1. ábra Forgassuk el az háromszöget az egyenes körül az háromszög síkjába úgy, hogy a pont elforgatottja és az -nek ugyanarra a partjára essék! A bizonyítandó állítás pontosan akkor igaz, ha és egybeesnek. A megadott szögek egyenlőségéből következik, hogy -ből és -ből egyenlő szögben látszik az szakasz, a két pont tehát rajta van az végpontú, szögű látóköríven. Mivel pedig mindkét pont illeszkedik az síkra, -vel együtt is rajta van és az sík metszésvonalán, pontosabban a félegyenesen, ahol az és az metszéspontja.
2. ábra Mármost ha ez az -re merőleges félegyenes csak egy pontban metszi a szóban forgó látókörívet, akkor valóban azonos -vel és így a feladat állítása is igaz (2. ábra). Ha azonban nincs az szakaszon, vagyis az háromszögben az vagy a csúcsnál tompaszög van, akkor a félegyenesnek két pontja is lehet a köríven (3. ábra). Ebben az esetben pedig példát készíthetünk az eredeti állítás cáfolatához is.
3. ábra A 3. ábrán , hiszen húrnégyszög. Mivel pedig merőleges az -re, az körül tetszőleges szöggel elforgatott háromszög csúcsa mindig benne lesz az -re merőleges, -t -ben metsző síkban. Az így kapott tetraéderben tehát teljesülnek a feltételek, a bizonyítandó állítás azonban nem igaz, mert az és az háromszögek nem egybevágók. A fentiekből kiolvasható, hogy a megadott feltételek mellett a bizonyítandó állítás pontosan akkor teljesül, ha a tetraédernek az élre illeszkedő lapjain az és a csúcsoknál nincs tompaszög. Megjegyzések. 1. Az állítás általános érvényét egyetlen ellenpélda megdöntheti.
4. ábra Tekintsük a következő példát (4. ábra). Ha tompaszög (és akkor is), előfordulhat, hogy . Állítsuk meg az háromszög forgatását abban a helyzetben, amikor merőleges az síkra, és szemléljük az alakzatot az síkra merőleges irányból. Ekkor a kérdéses síkot a egyenesben (élben) látjuk. szög pedig a sík egyenesének -vet bezárt szöge, valódi nagyságban. Erre az esetre nyilvánvalónak mondható, hogy a szög nem derékszög. Márpedig a egyenes akkor és csak akkor merőleges az síkra, ha annak minden egyenesére merőleges. 2. Tulajdonképpen a következőket használtuk fel. Keresve azon pontok halmazát, amelyekből egy adott szakasz látószöge egy adott szög, a válasz ‐ fokozatokban ‐ a következő: az -n átmenő bármely síkban, az egyenes előírt partján: a hagyományos, jól meghatározott körív; a síkban, az egyenes mindkét partján az -re tükrös körívpár; amely esetén a Thalész-körré áll össze; a térben az első körív által leírt forgásfelület, ha azt mint tengely körül forgatjuk (tórusz, esetén gömb, esetében olyan, mint egy "szilvamag'', mellett a tórusznak van két olyasmi "gödröcskéje'', mint az almacsutka környezete). |
|