Feladat: Gy.2258 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kucsera Itala 
Füzet: 1986/január, 15. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Háromszög nevezetes körei, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Húrnégyszögek, Diszkusszió, Körérintési szerkesztések, Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: Gy.2258

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresendő négyszögben B∢+D∢=180∘, azaz a négyszög húrnégyszög. Az AC átló így az ABC és ADC derékszögű háromszögek közös átfogója, B és D pedig rajta van az AC szakasz K Thalész-körén. Mivel a sokszög konvex, az AC elválasztja B-t és D-t.

 
 

Adott még a BD hossza és az AC és BD által bezárt φ szög. Tudjuk, hogy egy körben (K) az adott hosszúságú húrok felezőpontjainak mértani helye egy az eredeti körrel koncentrikus k kör, melynek sugara a húr és a kör középpontjának távolsága. Ezt a k kört a húr hosszának ismeretében meg tudjuk szerkeszteni. Ezután már csak olyan érintőt kell szerkesztenünk a k körhöz, amely az AC átmérővel éppen φ szöget zár be.
A szerkesztés menete :
‐ megszerkesztjük az AC szakasz K Thalész-körét,
‐ a Thalész-körben tetszőlegesen felvesszük a B'D'=BD hosszúságú húrt, O-ból merőlegest állítunk B'D'-re, s az így kapott távolsággal mint sugárral megrajzoljuk a K-val koncentrikus k kört,
‐ felvesszük az egyik olyan átmérőt, amely az AC-vel φ szöget zár be, s ezt irányára merőlegesen a k kör sugarával eltolva ‐ vagyis míg érinti azt ‐ megkapjuk a BD átló helyzetét.
 
 

Az eltolást két irányba is végezhetjük, az így kapott négyszögek középpontosan tükrösek lesznek. A szerkesztésből következik, hogy a négyszög eleget tesz az előírásoknak. A feladatnak mindig van megoldása, ha BD≦AC. Ha BD=AC, a négyszög téglalap, s ha még φ=90∘ is teljesül, akkor négyzet.
Ha BD<AC és φ=90∘, akkor deltoidot kapunk.