Kezdőlap


Feladat:	Gy.2251	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1986/április, 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sokszögek súlypontjának koordinátái, Alakzatok súlypontja (tömegközéppontja), Vektorok lineáris kombinációi, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/február: Gy.2251

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel a síkon egy tetszőleges $O$ pontot. Az $O$ -ból az adott pontokba mutató vektorok legyenek $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{9}$ valamilyen sorrendben.
Legyen $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ az első, $a_{4}$ , $a_{5}$ , $a_{6}$ a második és $a_{7}$ , $a_{8}$ , $a_{9}$ a harmadik csoportban. Ismert, hogy egy ponthármas súlypontjába mutató vektor az egyes pontokba mutató vektorok számtani közepe. Ezért ha $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ az egyes csoportok súlypontjaiba mutató vektorok, akkor

\begin{matrix} s_{1} = \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3}}{3}, s_{2} = \frac{a_{4} + a_{5} + a_{6}}{3}, s_{3} = \frac{a_{7} + a_{8} + a_{9}}{3} . \end{matrix}

A súlypontok ponthármasára alkalmazva az előző tételt:

\begin{matrix} s = \frac{s_{1} + s_{2} + s_{3}}{3}, \end{matrix}

ahol

s

-sel a 3 súlypont alkotta ponthármas súlypontjába mutató vektort jelöltük az adott csoportosítás mellett.
Mivel a vektorok összeadása kommutatív és asszociatív, ezért bárhogy csoportosítjuk a pontokat,

s

mindig

\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9}}{9}

lesz. A súlypont helye tehát valóban független a pontok csoportosításától.