A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tegyük fel, hogy a megadott átló az . Jelölje a paralelogramma szimmetriaközéppontját. Ekkor a ponttal együtt a félegyenest is adottnak vehetjük. A háromszög mindhárom oldala ismert, így a szakasz, mint e háromszög -ből induló súlyvonala megszerkeszthető. Ehhez a lépéshez szükséges, hogy a megadott , , szakaszokból létrejöjjön az ‐ esetleg elfajuló ‐ háromszög.
1. ábra Vigye az középpontú tükrözés ‐ amelynek során tehát a paralelogramma képe önmaga ‐ a pontot a -be (1. ábra). Ha és egybeesnek ‐ azaz , vagyis ‐, akkor nyilván szükséges, hogy is fennálljon, ilyenkor végtelen sok megoldása van a feladatnak. Ha , akkor a paralelogramma mind a négy csúcsának ismerjük a sík két különböző pontjától ‐ a -től és a -től ‐ mért távolságát, így mind a négy csúcs megszerkeszthető. Akkor létezik megoldás, ha a megadott távolságokkal megszerkeszthetők az ‐ esetleg elfajuló ‐ háromszögek, ahol az , , és csúcsok közül kerülhet ki. Ilyenkor viszont mind a négy pontra ‐ általában ‐ két megoldás adódik, és ezek páronként tükrös helyzetűek a egyenesre. Jelöljük a egyenest a továbbiakban -vel. Ha most az , , és pontpárok mindegyikéből egymástól függetlenül egy-egy pontot választunk, akkor az így kapott négyszög csúcsai természetesen a megadott távolságokra lesznek a ponttól. Megszorítást jelent, hogy négyszögünk paralelogramma, másfelől hogy átlója megadott hosszúságú. A szimmetria miatt az és az pontok közül válasszuk az -t. Ezután a választása már egyértelmű, ugyanis ha , akkor rajta van -n, így épp az átló, vagyis ekkor is fennáll. Ha ezután a párból a -t választjuk, akkor az , ha pedig a -t, akkor az négyszög adódik (2. ábra). Ezek a négyszögek paralelogrammák, hiszen szimmetrikusak az pontra, másfelől bennük a megfelelő távolságok rendre a megadottakkal egyenlők. A két paralelogramma általában nem egybevágó, hisz átlóik egyenlők, az átlók hajlásszöge viszont általában nem.
2. ábra A esetben tehát feladatunknak általában két különböző megoldása van, amennyiben a korábban említett háromszögek megszerkeszthetők, és a megadott átló végpontjainak az és a csúcsokat választjuk. A feladat szövege azonban a paralelogramma ,,egyik átlójáról'' beszél, így az adott hosszúságú átló végpontjainak a betűzés szerint ugyancsak átellenes és csúcsokat is választhatjuk. Így az előzőktől általában különböző újabb két megoldást kapunk, a feladatnak tehát valójában négy megoldása van. Megjegyzés. Könnyen látható, hogy amennyiben az átlót tekintjük a megadott hosszúságúnak, akkor az általános esetben ‐ ‐ kapott két megoldás akkor egybevágó, ha az és az háromszögek egybevágók. Mivel a két háromszög oldalegyenese közös, ez a pont négy lehetséges helyzetében fordulhat elő (3. ábra).
3. ábra Az első esetben , tehát illeszkedik a egyenesre, amely így azonos a átló egyenesével. A megadott távolságokra nézve ez azt jelenti, hogy a szerkesztett éppen az adott és távolságok számtani közepe. Ilyenkor a két megoldás egybeesik. A második esetben és az -re tükrösek, így azonos az átló egyenesével. Erre akkor kerül sor, ha a megadott távolságok közül a , , szakaszokból szerkesztett háromszög elfajuló. Ilyenkor tehát a két megoldás a közös átló egyenesére szimmetrikus. A harmadik esetben és középpontosan szimmetrikus az felezőpontjára, -ra, így , azaz a átló felező merőlegese. Ez akkor teljesül, ha . Ilyenkor a két megoldás egybeesik, pontosabban az -ra tükrös helyzetűek. A negyedik esetben és az felező merőlegesére tükrösek, azaz az átló felező merőlegese. Ez akkor teljesül, ha . Ilyenkor a két megoldás a közös átló felező merőlegesére szimmetrikus. |