A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Belátjuk, hogy a feladat kérdésére a válasz tagadó. Tegyük fel ugyanis, hogy létezik a megfelelő sorozat, és jelöljük -vel az szám sorszámát ebben a sorozatban , , , , . Ekkor az , , , felsorolás az első pozitív egész valamilyen sorrendben, ezért | | (1) |
A feltétel szerint másfelől | | (2) |
Ha most és jelöli a (2) bal oldalán az abszolút érték jelek felbontása után pozitív, illetve negatív előjellel álló számok összegét, akkor (1) szerint , (2)-ből pedig kapjuk, hogy . Innen és páratlannak adódik, ami nem lehet, hisz és egész számok. Ez azt jelenti, hogy valóban nem létezik a mondott tulajdonságú sorozat.
Megjegyzés. A feladat lényegében a következő probléma speciális esete: létezik-e olyan hosszúságú sorozat, amelyben a , , , számok mindegyike pontosan kétszer fordul elő, és bármelyik szám két előfordulása között pontosan darab szám szerepel a sorozatban? A bizonyításból kiolvasható, hogy ilyen sorozat létezéséhez szükséges, hogy az -től -ig terjedő egészek összege páros legyen, ami azt jelenti, hogy -nek -gyel osztva vagy maradékot kell adnia. Nem látszik könnyű kérdésnek, hogy a talált feltétel elégséges-e. Mindenesetre , , , és esetén ilyen elrendezés létezik: , , , , .
|