Feladat: Gy.2245 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Cynolter G. ,  Gyuris Viktor ,  Majoros L. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1985/november, 389 - 390. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Magasságpont, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: Gy.2245

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a körülírt kör középpontját O-val, a magasságpontot M-mel. Betűzzük a háromszöget úgy, hogy a≧b legyen, ekkor a-b≧0. Ha a-b=0, akkor a háromszög egyenlő szárú, O és M rajta van az alaphoz tartozó magasságvonalon, ami egyben fc szögfelező is. A feladat feltételeit tehát bármely, az r sugarú körbe írt egyenlő szárú háromszög kielégíti.
Ha a-b>0, akkor M, O és fc helyzete függ attól, hogy a C szög hegyesszög vagy tompaszög (2. ábra).

 
 
1. ábra
 

 
 
2. ábra
 

Tudjuk, hogy fc és az AB oldal felező merőlegese a körülírt kört ugyanabban a G pontban metszi. Jelöljük M-ből és O-ból az fc-re bocsátott merőlegesek talppontját X-szel, Y-nal. A feltétel szerint MX=OY. Mivel MC⊥AB, és OG⊥AB azért MCX∢=OGY∢, azaz CXM és GYO háromszögek egybevágók, ezért MC=OG=r. Továbbá azt is tudjuk, hogy a magasságpont 2-szer olyan messzire van a háromszög csúcsától, mint a körülírt kör középpontja a csúccsal szemközti oldal felezőpontjától, tehát r=MC=2⋅OF, ahonnan OF=r2. Az AOF derékszögű háromszögben a befogó fele az átfogónak, amiből következik, hogy AOF∢=60∘, és ezért AOB∢=120∘. A keresett háromszög C csúcsánál levő szöge tehát vagy 60∘ vagy 120∘ aszerint, hogy C az AB húr O-t tartalmazó vagy O-t nem tartalmazó oldalára esik. Az első esetben AB az OG sugár felező merőlegese, a másodikban ennek tükörképe az O középpontra.
Jelölje T a CB oldalon azt a pontot, amelyre BT=a-b. Ha C∢=60∘, akkor ACT szabályos háromszög, tehát ATB∢=120∘, azaz T az AB fölé írt, O-t tartalmazó 120∘-os látókörön van. Ha viszont C∢=120∘, akkor ATB∢=150∘, és C az AB húrnak az O-t nem tartalmazó partján van.
Ezek ismeretében könnyen meg tudjuk szerkeszteni a keresett háromszöget. Az r sugarú kör tetszőleges OG sugarának felező merőlegese, illetve annak O-ra vonatkozó tükörképe kimetszi a körből az AB oldalt.
AB fölé 120∘, ill. 150∘-os látókörívet szerkesztünk az előbb mondottak szerint, a G-t nem tartalmazó partjukon. (Mindkettőnek G a középpontja.) A köríveket B-ből az adott a-b távolsággal elmetszve kapjuk a T pontot, és BT kimetszi a körből a háromszög C csúcsát. Az eddigi meggondolásainkat megfordítva következik, hogy az így kapott háromszögek eleget tesznek a feltételeknek.
 
 
3. ábra
 

A feladatnak akkor van megoldása, ha a-b sugarú körív metszi a látókörívet, azaz 0<a-b<3r, és ekkor (egybevágóság erejéig) 2 különböző megoldást kapunk.
 
Megjegyzés. A 4 pontos dolgozatok szerzői csak azt a háromszöget találták meg, amelyben C∢=60∘.