A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel , azért és jegyeinek összege megegyezik, hiszen hatványaival osztva csak a tizedesvessző helye, illetve a számjegyek száma változik. A továbbiakban tehát -nek azt a természetes kitevőjű hatványát keressük, amelyben a számjegyek összege . Az , , , , , eseteket megvizsgálva látható, hogy esetén a jegyek összege éppen . Azt állítjuk, hogy ha , akkor jegyeinek összege nem lehet , vagyis az egyetlen megoldás . Tegyük fel, hogy ez nem igaz, és így van olyan természetes szám, amelyre jegyeinek összege . Ekkor minden jegye legfeljebb ( legalább kétjegyű), maga a szám pedig páros, és nem osztható -zel, utolsó jegye tehát vagy pedig . Ha volna az utolsó számjegy, akkor a legelső jegy , valamennyi további közbülső számjegy pedig . Ha , akkor osztható -cal ‐ -gyel is ‐, tehát az utolsó jegyéből alkotott szám is a többszöröse. A fentiek szerint ez a szám , vagy , ezek közül pedig a az egyetlen -cal osztható. Igy maga a lehetne csak a szóban forgó -hatvány, de a nem az. Ha az utolsó jegy , akkor ‐ mivel osztható -gyel ‐ az utolsó két jegyéből alkotott szám is ilyen. Az utolsó előtti jegy ezért vagy . Előbbi esetben a már ismert adódik. Ha az utolsó előtti jegy , akkor ezt páratlan jegy előzi meg, mert az utolsó jegyből alkotott szám csak így lehet -cal osztható. A jegyek összege viszont , így az utolsó három jegy . Hasonlóan továbbmenve, abból, hogy az utolsó négy jegyből álló szám -tal, az utolsó ötből álló pedig -vel osztható, kapjuk, hogy a hátulról számított negyedik és ötödik számjegy szükségképpen , illetve . A jegyek összege eddig , de az így kapott nem -hatvány. Beláttuk tehát, hogy csak esetén lesz tizedestört alakjában a jegyek összege . |