Mivel $\frac{1}{5^n}=2^n\cdot \frac{1}{{10}^n}$, azért $\frac{1}{5^n}$ és $2^n$ jegyeinek összege megegyezik, hiszen $10$ hatványaival osztva csak a tizedesvessző helye, illetve a $0$ számjegyek száma változik. A továbbiakban tehát $2$-nek azt a természetes kitevőjű hatványát keressük, amelyben a számjegyek összege $5$.
Az $n=0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ eseteket megvizsgálva látható, hogy $2^5=32$ esetén a jegyek összege éppen $5$. Azt állítjuk, hogy ha $n>5$, akkor $2^n$ jegyeinek összege nem lehet $5$, vagyis az egyetlen megoldás $n=5$.
Tegyük fel, hogy ez nem igaz, és így van olyan $n>5$ természetes szám, amelyre $2^n$ jegyeinek összege $5$. Ekkor minden jegye legfeljebb $4$ ($2^n$ legalább kétjegyű), maga a szám pedig páros, és nem osztható $10$-zel, utolsó jegye tehát $2$ vagy pedig $4$.
Ha $4$ volna az utolsó számjegy, akkor a legelső jegy $1$, valamennyi további közbülső számjegy pedig $0$. Ha $n>5$, akkor $2^n$ osztható $8$-cal ‐ $64$-gyel is ‐, tehát az utolsó $3$ jegyéből alkotott szám is a $8$ többszöröse. A fentiek szerint ez a szám $4$, $14$ vagy $104$, ezek közül pedig a $104$ az egyetlen $8$-cal osztható. Igy maga a $104$ lehetne csak a szóban forgó $2$-hatvány, de a $104$ nem az.
Ha az utolsó jegy $2$, akkor ‐ mivel $2^n$ osztható $4$-gyel ‐ az utolsó két jegyéből alkotott szám is ilyen. Az utolsó előtti jegy ezért $3$ vagy $1$. Előbbi esetben a már ismert $32$ adódik. Ha az utolsó előtti jegy $1$, akkor ezt páratlan jegy előzi meg, mert az utolsó $3$ jegyből alkotott szám csak így lehet $8$-cal osztható. A jegyek összege viszont $5$, így az utolsó három jegy $112$.
Hasonlóan továbbmenve, abból, hogy az utolsó négy jegyből álló szám $16$-tal, az utolsó ötből álló pedig $32$-vel osztható, kapjuk, hogy a hátulról számított negyedik és ötödik számjegy szükségképpen $0$, illetve $1$. A jegyek összege eddig $5$, de az így kapott $10112$ nem $2$-hatvány.
Beláttuk tehát, hogy csak $n=5$ esetén lesz $1/5^n$ tizedestört alakjában a jegyek összege $5$.