Feladat: Gy.2235 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/december, 453 - 455. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Körülírt kör középpontja, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/december: Gy.2235

Az ABC háromszög BC,CA, ill. AB oldalának egy-egy belső pontja rendre A1, B1, ill. C1. Bizonyítsuk be, hogy az AB1C1, BC1A1, illetve CA1B1 háromszögek köré írt körök középpontjai az ABC háromszöghöz hasonló háromszöget határoznak meg.

I. megoldás. A kerületi szögek tételének irányított szögekkel való megfogalmazását és annak megfordítását fogjuk használni (vö. Gy. 2219.megoldását).* Válasszuk úgy a betűzést, hogy az   ABC háromszög pozitív körüljárású legyen, a háromszög α, β, γ szögeit pedig tekintsük pozitív irányú forgásszögeknek.
 
 
1. ábra
 

Az AB1C1 háromszög köré írt körének tetszőleges P pontjára a PC1 egyenest ugyanakkora forgás viszi át a PB1 egyenesbe, mint az AC1-et AB1-be, ez a szög pedig jelöléseink szerint α. Hasonlóan a BA1C1 háromszög köré írt kör egy P' pontjára P'A1-et P'C1-be β szögű forgatás viszi. Legyen M e két körülírt kör második, C1-től különböző metszéspontja; MA1 egyenest MC1-be β szögű, MC1-et MB1-be α szögű elforgatás viszi át. Ha most MB1-et tovább forgatjuk γ szöggel, akkor α+β+γ=180 miatt MA1-et összesen 180-kal forgattuk el, vagyis visszajutottunk MA1-be. Ezért MB1-et M körül γ szöggel elforgatva MA1-et kapjuk, ami azt jelenti, hogy M rajta van a CA1B1 háromszög körülírt körén. Valóban, CB1-et C körül γ szöggel forgatva CA1-hez jutunk; és a kerületi szögek tételének megfordítása szerint ekkor mindazok a pontok rajta vannak CA1B1 körülírt körén, amelyekre ez a forgásszög, és az M pont ilyen.
Ezzel igazoltuk, hogy az AB1C1, BC1A1 és CA1B1 háromszögek körülírt körei egy M ponton mennek át, továbbá e körök középpontjait összekötő egyenesek rendre merőlegesek a közös húrokat tartalmazó MA1, MB1, MC1 egyenesekre. A középpontokat összekötő egyenesek szögei megegyeznek a rájuk k merőleges MA1, MB1, MC1 egyenesek által bezárt szögekkel, ez utóbbiak szögei pedig ‐ mint láttuk ‐ α, β   és  γ. Így a középpontokat összekötő egyenesek páronként α, β, γ szöget zárnak be; a kérdéses háromszög valóban hasonló az ABC háromszöghöz, amint azt bizonyítanunk kellett.
 

II. megoldás. Húzzuk meg az ABC háromszög oldalain adódó szakaszok felező merőlegeseit ‐ ezeknek a 2. ábra szerinti D, E, F metszéspontjai adják meg a körülírt körök középpontjait.
 
 
2. ábra
 

Az egy oldalra merőleges két egyenes távolsága az oldal hosszának fele, ezért elegendő a következőt igazolnunk:
Az ABC háromszög mindhárom oldalára két-két merőlegest állítunk úgy, hogy a párhuzamosak távolsága a megfelelő oldal hosszának fele legyen. Ekkor D, E, F metszéspontok az ABC-hez hasonló háromszöget határoznak meg.
Rögzítsük a BC,CA oldalakra emelt merőlegeseket, és vizsgáljuk, hogyan változik a DEF háromszög, mikor a harmadik párhuzamos párt csúsztatjuk AB-n. Az F pont fixen marad, D és E pedig AC-re, illetve BC-re merőlegesen mozog.
Húzzunk F-ből párhuzamost az AC,BC oldalakkal, messék ezek az oldalra emelt másik merőlegeseket D'-ben, E'-ben. A D'E'F háromszög D'F és FE' oldala párhuzamos és fele akkora, mint az ABC háromszög megfelelő oldala ‐ így ez áll a harmadik, D'E' oldalra is : D'E'AB és D'E'=AB/2.
Forgassuk és nyújtsuk meg a D'E'F háromszöget F körül úgy, hogy az E' pont E-be kerüljön, legyen D' képe D*. A dőlt betűs állítást ‐ és ezzel együtt a feladat állítását is ‐ beláttuk, ha megmutatjuk, hogy D és D* egybeesik. Ehhez meg elegendő azt látnunk, hogy egyrészt D* rajta van a DD' egyenesen, másrészt D*E-nek AB-re való vetülete éppen AB/2 hosszúságú.
Az első állítás könnyen adódik. A forgatva nyújtás miatt az  FE'E és FD'D* háromszögek hasonlók ‐ speciálisan mindkettő derékszögű, és így FD'D*=FD'D=90, tehát D',D és D* valóban egy egyenesen vannak.
D*-ból húzzunk párhuzamost D'E'-vel, és mérjük fel rá a D*E*=D'E' szakaszt. Ez akkora szöget zár be D*E-vel, amekkorával a D'E'F háromszöget elforgattuk, vagyis például ED*E*=EFE'. Másrészt D'E'F és D*EF hasonlóságából
D*E:D*E*=D*E:D'E'=EF:E'F,
tehát EPE' és ED*E* hasonló derékszögű háromszögek. Ráadásul D*E*AB, ezért D*E-nek AB-re való merőleges vetületének hossza D*E*=D'E'=AB/2, amit bizonyítani akartunk.
 

Megjegyzés. Második megoldásunkban nem használtuk ki, hogy a párhuzamos egyenespárok metszik az oldalszakaszokat, és azt sem, hogy távolságuk a megfelelő oldal hosszának éppen a fele, hanem csak annyit, hogy ez az arány mindhárom esetben ugyanaz.

* Lásd ezen számban a 452. oldalon.