Kezdőlap


Feladat:	Gy.2234	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argay Katalin , Biró J. , Borsik I. , Cseke Z. , Csott R. , Csűrös M. , Cynolter G. , Fabó Gy. , Forgács Ágnes , Hajdú G. , Hantosi Zs. , Hegyi Z. , Hetényi Zs. , Janszky J. , Majtényi Ágnes , Őrsi A. , Pál G. , Pogány P. , Rimányi R. , Sass B. , Szabó 401 Gy. , Varga 120 P. , Varga 822 Tünde , Vargay P.
Füzet:	1985/május, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: Gy.2234

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $E$ pontja az $A C$ szakasznak, ezért $C E = n \leq A C = 21$ , továbbá az, (esetleg elfajuló) egyenlő szárú $A D E$ háromszögből $A D + D E \geq A E$ , azaz $n \geq 7$ .
Ha most $n = 21$ , akkor $E$ és $A$ egybeesik, $D$ az $A B$ szakasznak az a pontja, amire $A D = 21$ , és $B C = m$ tetszőleges olyan egész szám lehet, amelyre az $A B C$ háromszög létrejön. Így $n$ egyik lehetséges értéke $21$ .

n = 7

, akkor

E

A C

szakasz

C

-hez közelebbi harmadolópontja. Az egyetlen olyan pont, ami

A

-tól és

E

-től egyaránt

n = 7

távolságra van,

A E

felezőpontja. Ezért

D

szükségképpen ezzel a ponttal esik egybe, de akkor nem lehet rajta az

A B C

háromszög

A B

oldalán is. Így

n \neq 7

, vagyis

n > 7

.
A megmaradt

7 < n < 21

esetekben

A D E

valódi egyenlő szárú háromszög. Legyen

B

-nek,

D

-nek merőleges vetülete

A C

-re

B', D'

. Ekkor

A D' = A E / 2 =

= (21 - n) / 2

. Az

A D' D

és

A B' B

hasonló derékszögű háromszögek, hasonlóságuk aránya

A B : A D = 33 : n

, így

\begin{matrix} A B' = A D' \cdot \frac{A B}{A D} = \frac{21 - n}{2} \cdot \frac{33}{n} . \end{matrix}

(1)

Most

B'

akár az

A C

oldalra, akár annak

C

-n túli meghosszabbítására esik, mindenképpen

C B' = | A C - A B' |

. Az

A B' B

és

C B' B

derékszögű háromszögekre a Pitagorasz tétel szerint

\begin{matrix} A B^{2} - A B'^{2} = B B'^{2} = B C^{2} - C B'^{2} . \end{matrix}

A B = 33, B C = m

és

C B' = | 21 - A B' |

értékeket helyettesítve

\begin{matrix} 33^{2} - A B'^{2} = m^{2} - 21^{2} + 2 \cdot 21 \cdot A B' - A B'^{2}, \end{matrix}

ahonnan (1) szerint ‐ mindjárt rendezve ‐

\begin{matrix} n (2223 - m^{2}) = 3^{3} \cdot 7^{2} \cdot 11 . \end{matrix}

A bal oldal második tényezője egész, így

n

osztója a jobb oldalnak. Tudjuk azt is, hogy

7 < n < 21

, így az

n

-re szóba jövő értékek

n = 9

és

n = 11

. Az első esetben

m^{2} = 2223 - 3 \cdot 7^{2} \cdot 11 = 606

, vagyis

m

-re nem adódik egész érték. Ha viszont

n = 11

, akkor

m^{2} = 2223 - 3^{3} \cdot 7^{2} = 900

, vagyis

m = 30

.
Így a fenti

n = 21

érték mellett egyedül

n = 11

jöhet szóba. Ellenőriznünk kell még, hogy abban az

A B C

háromszögben, amelyre

B C = m = 30

egység, valóban találhatók-e megfelelő

D

és

E

pontok. A fenti meggondolás lépéseit fordított sorrendben alkalmazva ez könnyen adódik, így nem részletezzük.
Összefoglalva tehát: a feladat kérdezett

n

lehetséges értékei

11

és

21