Kezdőlap


Feladat:	Gy.2233	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Varga Tünde
Füzet:	1985/szeptember, 255 - 256. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Hatványösszeg, Osztók száma, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: Gy.2233

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Állítjuk, hogy az $a b = c d$ feltételből következik, hogy léteznek olyan $p$ , $q$ , $r$ , $s$ pozitív egész számok, hogy $a = p q$ , $b = r s$ , $c = p r$ és $d = q s$ . Ebből már közvetlenül adódik a bizonyítandó állítás, nemcsak $1984$ , hanem tetszőleges $k \geq 1$ egész kitevő esetén. Ekkor ugyanis

\begin{matrix} a^{k} + b^{k} + c^{k} + d^{k} = {(p q)}^{k} + {(r s)}^{k} + {(p r)}^{k} + {(q s)}^{k} = (p^{k} + s^{k}) (q^{k} + r^{k}), \end{matrix}

és mivel a kapott szorzat mindkét tényezője legalább

2

, a négytagú összeg valóban összetett szám.
A felhasznált állítás ‐ az úgynevezett négyszám-tétel ‐ a következőképpen igazolható. Jelölje

a

és

c

legnagyobb közös osztóját

p

. Ekkor relatív prím

q

és

r

természetes számokra

a = p q

c = p r

. S mivel

p q b = a b = c d = p r d

p

-vel egyszerűsítve

\begin{matrix} q b = r d \end{matrix}

(1)

adódik. (1) jobb oldalán álló szorzat

q

-nak többszöröse, ugyanakkor

r

-nek és

q

-nak nincs közös prímosztója. Így

q

szükségképpen osztója a másik tényezőnek,

d

-nek, vagyis

d / q = b / r

egész szám. Ezt választva

s

-nek,

b = r s

és

d = q s

, amivel állításunk bizonyítását befejeztük.

Megjegyzés. A négyszám-tétel fenti bizonyításában felhasználtuk azt a számelmélet alaptételének nevezett állítást, mely szerint minden természetes szám egyértelműen bontható prímszámok szorzatára. A négyszám-tétel érdekessége, hogy adható rá olyan bizonyítás is, amelyik nem használja fel a számelmélet alaptételét.