A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Állítjuk, hogy az feltételből következik, hogy léteznek olyan , , , pozitív egész számok, hogy , , és . Ebből már közvetlenül adódik a bizonyítandó állítás, nemcsak , hanem tetszőleges egész kitevő esetén. Ekkor ugyanis | | és mivel a kapott szorzat mindkét tényezője legalább , a négytagú összeg valóban összetett szám. A felhasznált állítás ‐ az úgynevezett négyszám-tétel ‐ a következőképpen igazolható. Jelölje és legnagyobb közös osztóját . Ekkor relatív prím és természetes számokra , . S mivel , -vel egyszerűsítve adódik. (1) jobb oldalán álló szorzat -nak többszöröse, ugyanakkor -nek és -nak nincs közös prímosztója. Így szükségképpen osztója a másik tényezőnek, -nek, vagyis egész szám. Ezt választva -nek, és , amivel állításunk bizonyítását befejeztük. Megjegyzés. A négyszám-tétel fenti bizonyításában felhasználtuk azt a számelmélet alaptételének nevezett állítást, mely szerint minden természetes szám egyértelműen bontható prímszámok szorzatára. A négyszám-tétel érdekessége, hogy adható rá olyan bizonyítás is, amelyik nem használja fel a számelmélet alaptételét.
|