Kezdőlap


Feladat:	Gy.2230	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jenei Sándor
Füzet:	1985/október, 307 - 308. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Legnagyobb közös osztó, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: Gy.2230

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a két futó sebességét $v_{A}$ és $v_{B}$ jelöli, akkor a feltétel szerint

\begin{matrix} \frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{22}{32} = \frac{11}{16} . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy amíg az

A

futó

11

kört fut, addig a

B

16

-ot. Ha az ehhez szükséges időt

T

jelöli, az eseményeket pedig akkor kezdjük figyelni, amikor

B

a feladat szerint éppen beérte

A

-t, akkor

T

idő leteltével a futók a pályának ugyanazon az

S

pontján lesznek. Együttes mozgásuk tehát a

T

idő szerint periodikus, így csak ott kerülhet sor találkozásra, ahol ez a fenti

T

hosszúságú időtartam alatt bekövetkezett.
Az adott idő alatt

B

5

körrel fut többet

A

-nál, így ötször éri be, utoljára éppen az

S

pontban. Mivel a

11

-nek és a

16

-nak

1

a legnagyobb közös osztója, a mozgásnak

T

-nél rövidebb periódusa nincsen. Ellenkező esetben ugyanis a futók

T' (< T)

idő elteltével is az

S

pontba érnének, és az általuk eközben megtett körök száma olyan 11-nél, illetve 16-nál kisebb pozitív egész volna, melyek aránya ugyancsak

\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{11}{16}

, ami nem lehet. Ha viszont a mozgásnak

T

a legrövidebb periódusa, akkor a fenti öt találkozásra a pálya különböző pontjain kerül sor.
A pályának tehát öt olyan pontja van, ahol

B

lekörözheti

A

-t.

Megjegyzések. 1. Nyilvánvaló, hogy az öt találkozási pont egy szabályos ötszög öt csúcsát alkotja.
2. A megoldásból látszik, hogy a pálya alakja közömbös, a talált eredmény igaz marad bármely pályára, amelynek alakja önmagát nem metsző zárt görbe.