Kezdőlap


Feladat:	Gy.2228	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barta 566 Z. , Béres Z. , Bóna P. , Bukszár J. , Csürös M. , Dávoti B. , Figeczky G. , Kálmán E. , Károlyi Gy. , Katona Emese , Králik I. , Kucsera Itala , Kulcsár T. , Kövér Erika , Láng R. , Mikusi Cs. , Nagy 489 T. , Paál B. , Rakaczki Zs. , Révész Anita , Rupp Edina , Schmidt Edit , Szabó 522 Beáta , Szakállas Sz. , Szücs 704 G. , Tasi Andrea , Tavaszi G. , Tornyi L. , Vay Krisztina , Vertse Judit , Wolkensdorfer P.
Füzet:	1985/április, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Súlypont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/november: Gy.2228

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat első részében keresendő $A$ , $B$ pontok egymásnak $P$ -re vonatkozó tükörképei, hiszen $A$ , $P$ , $B$ egy egyenesen vannak ebben a sorrendben és $A P = P B$ is teljesül. Így ha $A$ eleme valamelyik háromszögoldalnak, akkor $B$ eleme az oldal $P$ -re vonatkozó tükörképének.
Szerkesztésünk tehát a következő. Tükrözzük a háromszög oldalait $P$ -re, s a tükörképek és az eredeti oldalak metszéspontjai (ha léteznek) adják a megfelelő $A$ , $B$ párokat (1. ábra).

1. ábra

2. ábra

Vizsgáljuk meg, hogy

P

elhelyezkedésétől függően hány különböző

A

B

pár adódik! Tekintsük az

F_{1} F_{2} F_{3}

középvonal-háromszöget,

P

-nek az ehhez viszonyított helyzete fogja eldönteni a megoldások számát. Mégpedig ha

P

F_{1} F_{2} F_{3}

háromszög belső pontja, akkor az oldalak tükörképei mind metszik az eredeti kerületet, ekkor három különböző megoldás van. Ha

P

valamelyik

F_{i} F_{j}

szakasz pontja, akkor a megfelelő oldal tükörképe éppen a szemközti csúcson megy át, s így két pontpár egybeolvad: két megoldás adódik. Ha

P

valamelyik csúcsot tartalmazó negyedháromszög pontja, akkor a távolabbi oldal tükörképe nem metsz a háromszögbe, s így csak egy megfelelő pontpár van.
A feladat második felének megoldása és elemzése megtalálható Csirmaz László: Hány nevezetes pontja van egy háromszögnek? c. cikkében KÖMAL 1984. dec. szám 438. oldal, 3. bekezdés).