A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. és merőlegességéből következik, hogy , továbbá a tükrözésekből , ill. , amiből a húrok egyenlősége következik (1. ábra).
1. ábra Elegendő azt igazolnunk, hogy , mert ebből már következik, hogy -ból a kérdéses ötszög hátralevő oldala is -os szögben látható. Legyen a kör sugara egységnyi, ekkor , , és a Pitagorasz-tétel alapján . Az háromszögre felírhatjuk a szögfelező tételt:
Innen Jelöljük a szöget -val, ekkor az derékszögű háromszögben
2. ábra Most már csak azt kell látnunk, hogy . Rajzoljunk egy egyenlő szárú háromszöget, amelyben , és (2. ábra). Legyen . Húzzuk meg a -nél levő -os szög szögfelezőjét, ez a szemközti oldalt messe a pontban. A és háromszögek egyenlőszárúak, mert - szögük egyenlő, így , . Továbbá és hasonló háromszögek. Ezekből Az -re kapott másodfokú egyenletből . Mivel most tudjuk, hogy csak a pozitív gyököt kell figyelembe vennünk, azaz . Ekkor pedig az háromszögben , s ezt akartuk bizonyítani. |