Kezdőlap


Feladat:	Gy.2227	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/november, 385 - 386. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/november: Gy.2227

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$C_{1} O$ és $C_{2} C_{5}$ merőlegességéből következik, hogy $C_{1} C_{2} = C_{1} C_{5}$ , továbbá a tükrözésekből $C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3}$ , ill. $C_{1} C_{5} = C_{5} C_{4}$ , amiből a $C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3} = C_{1} C_{5} = C_{5} C_{4}$ húrok egyenlősége következik (1. ábra).

1. ábra

Elegendő azt igazolnunk, hogy

C_{1} O C_{2} ∢ = 72^{\circ}

, mert ebből már következik, hogy

O

-ból a kérdéses ötszög hátralevő

C_{3} C_{4}

oldala is

72^{\circ}

-os szögben látható.
Legyen a kör sugara egységnyi, ekkor

O C_{1} = 1

O D = \frac{1}{2}

, és a Pitagorasz-tétel alapján

D C_{1} = \frac{\sqrt[]{5}}{2}

. Az

O D C_{1}

háromszögre felírhatjuk a szögfelező tételt:

\begin{matrix} O D : D C_{1} = O E : E C_{1}, azaz \\ \frac{1}{2} : \frac{\sqrt[]{5}}{2} = O E : (1 - O E) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} O E = \frac{1}{\sqrt[]{5} + 1} . \end{matrix}

Jelöljük a

C_{2} O E

szöget

α

-val, ekkor az

O E C_{2}

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} cos α = O E = \frac{1}{\sqrt[]{5} + 1} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{4} . \end{matrix}

2. ábra

Most már csak azt kell látnunk, hogy

α = 72^{\circ}

. Rajzoljunk egy egyenlő szárú háromszöget, amelyben

A B = A C = 1

, és

A B C ∢ = A C B ∢ = 72^{\circ}

(2. ábra). Legyen

B C = x

. Húzzuk meg a

B

-nél levő

72^{\circ}

-os szög szögfelezőjét, ez a szemközti

A C

oldalt messe a

D

pontban. A

B C D

és

B D A

háromszögek egyenlőszárúak, mert

2

2

szögük egyenlő, így

D A = B D = B C = x

C D = 1 - x

. Továbbá

B C D

és

A B C

hasonló háromszögek. Ezekből

\begin{matrix} 1 : x = x : (1 - x) . \end{matrix}

x

-re kapott

x^{2} + x - 1 = 0

másodfokú egyenletből

x = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{5}}{2}

. Mivel most tudjuk, hogy

x > 0,

csak a pozitív gyököt kell figyelembe vennünk, azaz

x = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}

.
Ekkor pedig az

A B C

háromszögben

cos 72^{\circ} = \frac{x}{2} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{4}

, s ezt akartuk bizonyítani.