Kezdőlap


Feladat:	Gy.2226	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1985/szeptember, 255. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/november: Gy.2226

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a trapéz átlói merőlegesek, területét könnyen kiszámíthatjuk úgy, mint átlói szorzatának felét. Az egyik átló hossza adott, $5$ egység. A másik átló helyzete ugyan nem meghatározott, de tudjuk, hogy két, egymástól $4$ egység távolságra levő párhuzamos egyenes között mozog, így hossza állandó. A trapéz területe tehát egyértelműen meghatározható.

Jelöljük a trapéz párhuzamos oldalegyeneseit

e

-vel,

f

-fel,

5

egység hosszú átlóját

A C

-vel. Feladatunk az

A C

-re merőleges

e

és

f

közötti szakasz hosszának meghatározása. Állítsunk merőlegest

C

-ben

f

-re és

A C

-re, ezek messék

f

-et

C_{1}

-ben és

C_{2}

-ben.

C C_{1}

a trapéz magassága ‐ tehát

4

egység, és Pitagorasz tétele alapján az

A C C_{1}

derékszögű háromszög

A C_{1}

befogója

3

egység. Az

A C C_{2}

és

A C_{1} C

hasonló derékszögű háromszögek, így

\begin{matrix} A C_{1} : C_{1} C = A C : C C_{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} C C_{2} = \frac{C_{1} C \cdot A C}{A C_{1}} = \frac{20}{3} . \end{matrix}

Eszerint a trapéz másik átlója

20 / 3

egység hosszúságú, s területe a megoldás elején mondottak szerint

\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{20}{3} = \frac{50}{3}

területegység.