Kezdőlap


Feladat:	Gy.2222	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1985/május, 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/november: Gy.2222

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c}$ feltételből rendezés után

\begin{matrix} b c (a - b) = b - c \end{matrix}

(1)

adódik. Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} a c (b - c) = c - a & (2) \\ a b (c - a) = a - b . & (3) \end{matrix}

Az egyenlőségeket összeszorozva

\begin{matrix} {(a b c)}^{2} (a - b) (b - c) (c - a) = (b - c) (c - a) (a - b), \end{matrix}

ahonnan felhasználva, hogy

a, b

és

c

páronként különbözők,

a^{2} b^{2} c^{2} = 1

és így

| a b c | = 1

.
Mivel

a + \frac{1}{b} = p, b

-vel való szorzás után

a b + 1 = b \cdot p

, és hasonlóan

b c + 1 =

= c \cdot p

. Ezeket egymásból kivonva

\begin{matrix} b (a - c) = p (b - c) . \end{matrix}

Ezt (2)-vel szorozva

\begin{matrix} a b c (a - c) (b - c) = p (b - c) (c - a), \end{matrix}

ahonnan a feltétel szerint

\begin{matrix} p = - a b c . \end{matrix}

Eszerint

p

lehetséges értéke

1

és

- 1

.
Hátra van még annak megmutatása, hogy ezek az esetek elő is fordulhatnak, vagyis az

a, b, c

számokat tudjuk úgy választani, hogy

p = 1

, és úgy is, hogy

p = - 1

legyen. Az első esetre példa

a = - 1

b = 1 / 2

c = 2

; a másodikra

a = 1

b = - 1 / 2

c = - 2