Kezdőlap


Feladat:	Gy.2218	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Slenker Éva
Füzet:	1985/április, 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Magasságvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/október: Gy.2218

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög oldalait és magasságát a szokásos módon. Legyen a két magasság $m_{a}$ és $m_{b}$ , vagyis

\begin{matrix} m_{a} \geq a, m_{b} \geq b \end{matrix}

(1)

Tudjuk továbbá, hogy

\begin{matrix} m_{a} \leq b, és m_{b} \leq a, \end{matrix}

(2)

hiszen például

m_{a}

befogó egy olyan derékszögű háromszögben, aminek

b

átfogója.
(1)-ből és (2)-ből

\begin{matrix} a \leq m_{a} \leq b és b \leq m_{b} \leq a, \end{matrix}

és ezért

a \leq b \leq a

, ami csak úgy lehetséges, ha

a = b = m_{a} = m_{b}

, vagyis a háromszög egyenlő szárú és derékszögű, azaz

A C B ∢ = 90^{\circ}

, és

A B C ∢ = B A C ∢ = 45^{\circ}