Kezdőlap


Feladat:	Gy.2214	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1985/április, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/október: Gy.2214

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk meg (1)-ben mindkét oldalt $a b (p a + q b)$ -vel:

\begin{matrix} p b (p a + q b) + q a (p a + q b) = a b, \end{matrix}

ahonnan átrendezés után

\begin{matrix} p q (b^{2} + a^{2}) + a b (p^{2} + q^{2} - 1) = 0. \end{matrix}

(2)

A feltételek szerint

p + q = 1

, ahonnan

p^{2} + q^{2} + 2 p q = 1

, így ha (2)-ben

p^{2} + q^{2} - 1

helyére a vele egyenlő

(- 2 p q)

-t írjuk, akkor

\begin{matrix} p q (b^{2} + a^{2}) - a b \end{matrix}

adódik.

p q

-t kiemelve

\begin{matrix} p q (b^{2} + a^{2} - 2 a b) = p q {(a - b)}^{2} = 0. \end{matrix}

A feltétel szerint a fenti szorzat első tényezője nem nulla, így

{(a - b)}^{2} = 0

, tehát

a = b

, és ezt akartuk bizonyítani.

Megjegyzés. Ha

f (x) = \frac{1}{x}

, akkor az állítás azt mondja ki, hogy

p + q = 1

és

p q \neq 0

mellett

p \cdot f (a) + q \cdot f (b) = f (p a + q b)

esetén

a = b

. Ismert, hogy ha

a \neq b

, akkor amennyiben

p + q = 1

, akkor az

E (p a + q b; f (p a + q b))

pont az

f

grafikonjának, az

F (p a + q b; p \cdot f (a) + q \cdot f (b))

pont pedig az

A (a; f (a))

és a

B (b; f (b))

pontokon átmenő egyenesnek az

A

, illetve a

B

pontoktól különböző pontjai.

Mivel

E

és

F

abszcisszája egyenlő, a bizonyítandó állítás épp azt jelenti, hogy az

f

grafikonjának különböző

A

és

B

pontjain átmenő egyenesen nincs további görbepont, vagyis

f

grafikonját minden egyenes legfeljebb két pontban metszi.