Kezdőlap


Feladat:	Gy.2213	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Magasságvonal, Súlypont, Trapézok, Húrnégyszögek, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: Gy.2213

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott oldal $A B$ , a hozzá tartozó magasság $m_{a}$ , a $B$ csúcsnál levő szög pedig $β = 2 α$ . Tükrözzük a háromszöget az $A B$ oldal $f$ felezőmerőlegesére, $C$ tükörképe $C'$ , a $C C'$ szakasz felezőpontja $F$ .

1. ábra

A tengelyes szimmetriából következik, hogy

A B C C'

egyenlő szárú trapéz,

A B

és

C C'

párhuzamosak, így

C' C A ∢ = C A B ∢ = α

. Mivel

C B A ∢ = C' A B ∢ = 2 α

, a

C C' A

háromszögben

C' A C ∢ = α

, azaz

C C' A

egyenlő szárú:

C C' = C' A

.
Az

A F

szakasz a

C C' A

háromszög súlyvonala,

S

súlypontja

A F

-nek

F

-hez közelebbi harmadolópontja, erre

A S = S C

, hiszen

C C' A

egyenlő szárú.

2. ábra

Az elemzés alapján a szerkesztés a következő. Húzzuk meg az

A B

oldallal párhuzamos, attól

m_{a}

távolságra haladó

e

egyenest.

A B

felező merőlegesének és

e

-nek metszéspontja

F

. Az

A F

szakasz

F

-hez közelebbi harmadolópontja

S

, végül az

S

középpontú,

S A

sugarú kör metszi ki

e

-ből a

C

csúcsot (2. ábra). A kör és egyenes két metszéspontja közül csak az felel meg

C

-nek, amelyik az

f

felező merőleges

B

-t tartalmazó oldalán van, hiszen

C B A ∢ = 2 α > C A B ∢ = α

kell hogy fennálljon.
A szerkesztés menetéből következik, hogy ilyen

C

pont mindig létrejön, és hogy csak egy, hiszen

r = S A > S F

.
Végül belátjuk, hogy a kapott háromszög eleget tesz az előírásnak.
Az

A B

oldal és az ahhoz tartozó magasság valóban egyezik a megadottakkal. Azt, hogy

C B A ∢ = 2 \cdot C A B ∢

, a következő mutatja.

C

-t

F

-re tükrözve,

S

súlypontja az adódó

C C' A

háromszögnek. Ám a szerkesztés miatt

S A = S C

, vagyis a

C C' A

háromszögben a

C

-ből, ill.

A

-ból induló súlyvonal egyenlő hosszú. Használva azt a tételt, hogy ha egy háromszögben két súlyvonal egyenlő hosszú, akkor a háromszög egyenlő szárú, következik, hogy

B A C ∢ = A C C' ∢ = C' A C ∢

. Így

2 \cdot B A C ∢ = B A C ∢ + C A C' ∢ = B A C' ∢ = C B A ∢

a tengelyes szimmetria miatt, ahogyan kívántuk.