Kezdőlap


Feladat:	Gy.2212	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/február, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: Gy.2212

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az első sokszög oldalainak száma $n$ , egyik belső szöge $α$ , a másik sokszög oldalainak száma $m$ , egyik belső szöge $β$ . Ekkor $α : β = 5 : 7$ -ből

\begin{matrix} α = \frac{5}{7} β < \frac{5}{7} \cdot 180^{\circ} = {(128 \frac{4}{7})}^{\circ} . \end{matrix}

(1)

n

oldalú szabályos sokszög középponti szöge

\frac{360^{\circ}}{n}

, így belső szöge

\begin{matrix} α = (180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}) = 180^{\circ} (1 - \frac{2}{n}), \end{matrix}

n

egész és legalább

3

, de legfeljebb

6

, mert

n \geq 7

-re

α \geq {(128 \frac{4}{7})}^{\circ}

adódna, ami ellentmond (1)-nek. Így csak az

n = 3

4

5

és

6

értékeket kell figyelembe vennünk:

\begin{matrix} n & α & β = \frac{7}{5} α & m = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - β} \\ 3 & 60^{\circ} & 84^{\circ} & nem egész \\ 4 & 90^{\circ} & 126^{\circ} & nem egész \\ 5 & 108^{\circ} & {(151 \frac{1}{5})}^{\circ} & nem egész \\ 6 & 120^{\circ} & 168^{\circ} & 30 \end{matrix}

Látjuk, hogy csak egyetlen esetben kapunk az oldalakra egész értékeket, tehát az egyetlen megoldás, ha az egyik sokszög

6

, a másik

30

oldalú.