Kezdőlap


Feladat:	Gy.2211	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bognár Beatrix
Füzet:	1985/március, 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Négyzetek, Húrnégyszögek, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: Gy.2211

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ derékszögű háromszöget az $A D$ magasságvonal két derékszögű háromszögre bontja, melyeknek $D$ csúcsból induló szögfelezői $D N$ , ill. $D M$ merőlegesek egymásra.

A N D M

négyszögben így két szemközti szög összege

A ∢ + D ∢ = 180^{\circ}

, vagyis

A N D M

húrnégyszög, írható köréje kör. Ez a kör az

E

pontot is tartalmazza, hiszen

N A E ∢ = 45^{\circ}

N D E ∢ = 135^{\circ}

, vagyis az

N E M A

négyszög húrnégyszög. S mivel a két húrnégyszögnek 3 csúcsa közös, körülírt körük megegyezik. Az

A D E

derékszögű háromszögnek

A E

átfogója így átmérője a körnek.

N

és

M

ugyancsak az

A E

fölé mint átmérő fölé írt Thalesz körön van, s ezért

A N E ∢ = A M E ∢ = 90^{\circ}

. A

N E M A

négyszögnek tehát minden szöge derékszög, s mivel

A E

átlója az oldallal

45^{\circ}

-os szöget zár be, következik, hogy

N E M A

négyzet.