A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen -nek a kör középpontjára vonatkozó tükörképe . A kör szimmetriája miatt nyilván elegendő azokat a húrokat vizsgálni, amelyeknek -től különböző végpontjuk ‐ mondjuk ‐ a jobb oldali a félköríven van. Vegyünk fel egy ilyen húrt. Szerkesszük meg fölé a egyenlő szárú derékszögű háromszöget. Ha a nagyobbik ívhez tartozó körszeletbe esik, akkor mivel és a nagyobbik körív pontjaiból hegyesszög alatt látszik, biztosan a kör belsejében van. Ha viszont a rövidebb ív felé esik, akkor ‐ mivel az ív pontjaiból tompaszög alatt látszik ‐ biztosan a körön kívülre esik. Mi most csak ezen pontok halmazát vizsgáljuk.
A átmérő fölé írt egyenlő szárú háromszög derékszögű csúcsa éppen a ív felezőpontja. -hez úgy is eljuthatunk, ha pontot körül -os szöggel (az óramutató járásával ellentétes irányban) elforgatjuk és -szörösére kicsinyítjük. Általában is ez a helyzet a ív bármely pontjára, azaz ha a húrt -kal elforgatjuk és -szörösére kicsinyítjük, az így kapott pont éppen a fölé írt egyenlő szárú derékszögű háromszög harmadik csúcsát adja. Valóban, és miatt éppen egy négyzet fele. Amíg végigfut Thalész-körének jobb oldali félkörívén, a fölé írt egyenlő szárú derékszögű háromszögek derékszögű csúcsa a átmérőjű Thalész-körből a körön kívül eső félkört írja le. És fordítva, ha a íven felveszünk egy pontot, ehhez mindig található egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, ahol a kör pontja. Az pontot a transzformáció ,,megfordításával'' kaphatjuk meg: -t körül -kal elforgatjuk, és -szeresére nagyítjuk. A keresett pontok halmaza tehát a fölé írt Thalész-félkörív és annak a átmérőre vonatkozó tükörképe. és természetesen nem tartozik a halmazba.
|
|