Kezdőlap


Feladat:	Gy.2210	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1985/október, 304 - 305. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgatva nyújtás, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: Gy.2210

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $P$ -nek a $k$ kör $O$ középpontjára vonatkozó tükörképe $S$ . A kör szimmetriája miatt nyilván elegendő azokat a húrokat vizsgálni, amelyeknek $P$ -től különböző $R$ végpontjuk ‐ mondjuk ‐ a jobb oldali a $P S$ félköríven van. Vegyünk fel egy ilyen húrt. Szerkesszük meg fölé a $P Q R$ egyenlő szárú derékszögű háromszöget. Ha $Q$ a nagyobbik $P R$ ívhez tartozó körszeletbe esik, akkor mivel $P Q R ∢ = 90^{\circ}$ és $P R$ a nagyobbik körív pontjaiból hegyesszög alatt látszik, $Q$ biztosan a $k$ kör belsejében van. Ha viszont $Q$ a rövidebb ív felé esik, akkor ‐ mivel $P R$ az ív pontjaiból tompaszög alatt látszik ‐ $Q$ biztosan a körön kívülre esik. Mi most csak ezen $Q$ pontok halmazát vizsgáljuk.

P S

átmérő fölé írt egyenlő szárú háromszög derékszögű csúcsa éppen a

P S

ív

M

felezőpontja.

M

-hez úgy is eljuthatunk, ha

S

pontot

P

körül

45^{\circ}

-os szöggel (az óramutató járásával ellentétes irányban) elforgatjuk és

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

-szörösére kicsinyítjük. Általában is ez a helyzet a

P S

ív bármely

R

pontjára, azaz ha a

P R

húrt

45^{\circ}

-kal elforgatjuk és

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

-szörösére kicsinyítjük, az így kapott

Q

pont éppen a

P R

fölé írt egyenlő szárú derékszögű háromszög harmadik csúcsát adja.
Valóban,

P R Q ∢ = 45^{\circ}

és

\frac{P Q}{P R} = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

miatt

P Q R

éppen egy négyzet fele. Amíg

R

végigfut

P S

Thalész-körének jobb oldali félkörívén, a

P R

fölé írt egyenlő szárú derékszögű háromszögek derékszögű csúcsa a

P M

átmérőjű Thalész-körből a

k

körön kívül eső

k_{1}

félkört írja le. És fordítva, ha a

k_{1}

íven felveszünk egy

Q

pontot, ehhez mindig található egy

P Q R

egyenlő szárú derékszögű háromszög, ahol

R

k

kör pontja. Az

R

pontot a transzformáció ,,megfordításával'' kaphatjuk meg:

P Q

-t

P

körül

45^{\circ}

-kal elforgatjuk, és

\sqrt[]{2}

-szeresére nagyítjuk.
A keresett pontok halmaza tehát a

P M

fölé írt Thalész-félkörív és annak a

P S

átmérőre vonatkozó tükörképe.

P

és

M

természetesen nem tartozik a halmazba.