Kezdőlap


Feladat:	Gy.2208	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tarcza Tibor
Füzet:	1985/április, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számhalmazok, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: Gy.2208

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első 1414 pozitív egész összege

\begin{matrix} 1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} \end{matrix}

formula alapján

\frac{1414 \cdot 1415}{2} = 1 000 405 = 505 \cdot 1981

, tehát 505 csoportot kell készítenünk.

1981 = 1414 + 567 = 1413 + 568 = ... = 991 + 990

, vagyis az 567-től 1414-ig terjedő 848 darab szám 424 darab kettes csoportba osztható úgy, hogy a számok összege minden csoportban 1981.
Elegendő most már az első 566 pozitív egészet csoportosítani a kívánt módon.

\begin{matrix} 1 + 2 + ... + 566 = (1 + 282) + (2 + 281) + ... + \\ + (141 + 142) + (283 + 566) + (284 + 565) + ... + (424 + 425); \end{matrix}

vagyis az első 566 pozitív egész 141 darab 283 összegű, továbbá 142 darab

3 \cdot 283

összegű csoportra osztható. Mivel

1981 = 7 \cdot 283

, most már készen vagyunk, hiszen

\begin{matrix} 141 \cdot 283 + 142 \cdot 3 \cdot 283 = 70 \cdot 283 + 71 \cdot 283 + 71 \cdot 6 \cdot 283 = \\ = 10 \cdot (7 \cdot 283) + 71 \cdot (7 \cdot 283) = 81 \cdot 1981. \end{matrix}

A további 81 darab csoport előállításához a 141, illetve 142 darab párt kell

7 \cdot 283

összegű csoportokká rendeznünk, ami éppen a fenti egyenlőségek alapján tehető meg. Látható, hogy az első 1414 pozitív egész mindegyike pontosan egy csoportban szerepel. Ezzel a feladatot megoldottuk.