I. megoldás. Feltehetjük, hogy a pontok a félkörön az $A$, $C$, $M$, $D$, $B$ sorrendben követik egymást. Megállapítjuk, hogy $M$ minden megengedett helyzetében $S$ és $T$ a $CD$ szakasz belső vagy határpontjai (ha $M$ egybeesik $C$-vel vagy $D$-vel), és hogy e pontok sorrendje $C$, $S$, $T$ és $D$.

 

1. ábra

STMM-ben derékszögű háromszög egy-egy hegyesszögével. Így
$A_{1}SA\sphericalangle =MST\sphericalangle ={90}^{\circ }-MTS\sphericalangle ={90}^{\circ }-B_{1}TB\sphericalangle =TB{B}_1\sphericalangle$, azaz $A{A}_{1}S$ és $T{B}_{1}B$ hasonló háromszögek:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{A{A}_1}{A_{1}S}=\frac{Z{B}_1}{B{B}_1}\mathrm{,}}\end{array}$

ahonnan $A_{1}S\cdot T{B}_1=A{A}_1\cdot B{B}_1$, valóban független $M$ helyzetétől. A számtani és mértani  közepek közti egyenlőtlenségből

$\begin{array}{c}{\displaystyle ST=A_1{B}_1-\left(A_{1}S+T{B}_1\right)\le A_1{B}_1-2\sqrt[]{A_{1}S\cdot T{B}_1}=A_1{B}_1-2\sqrt[]{A{A}_1\cdot B{B}_1}\mathrm{.}}\end{array}$

(1)

Ezek szerint az $ST$ szakasz hossza legfeljebb $A_1{B}_1-2\sqrt[]{A{A}_1\cdot B{B}_1}$, és ennyi is csak akkor lehet, ha $A_{1}S=T{B}_1=\sqrt[]{A{A}_1\cdot B{B}_1}\mathrm{.}$
Eddig az $ST$ szakasz hosszára kaptunk egy felső becslést: tudjuk, hogy ez $M$ helyzetétől függetlenül legfeljebb $A_1{B}_1-2\sqrt[]{A{A}_1\cdot B{B}_2}$. Nekünk azonban ez nem elég: meg kell mutatni, hogy $M$-nek van olyan $M_0$ helyzete, amelyhez tartozó $S_0{T}_0$ szakasz hossza éppen ez az érték, és végül meg is kell szerkesztenünk az összes ilyen $M_0$ pontot.

 

 

2. ábra

 

Ez utóbbi feladat az egyszerűbb. Láttuk, hogy $S_0{T}_0$ csak akkor érheti el az (1)-beli felső határt, ha $A_1{S}_0=T_0{B}_1=\sqrt[]{A{A}_1\cdot B{B}_1}\mathrm{.}$ Az $A{A}_1\mathrm{,}B{B}_1$ szakaszokat ismerjük, így mértani közepüket könnyen szerkeszthetjük például a magasságtétel segítségével (2. ábra). A $\sqrt[]{A{A}_1\cdot B{B}_1}$ szakaszt $A_1$-től $B_1$ felé, valamint $B_1$-től $A_1$ felé felmérve kapjuk az $S_0$, $T_0$ pontokat; az $A{S}_0$ és $B{T}_0$ egyenesek metszéspontja adja ki $M_0$-t (3. ábra). Ha tehát van a $CD$ körívnek egyáltalán olyan pontja, amire $ST$ az (1) szerinti maximális értéket felveszi, csak ez az $M_0$ pont lehet.

 

 

3. ábra

 

A feladat megoldásához így elegendő megmutatnunk, hogy az így megszerkesztett $M_0$ valóban pontja a $CD$ körívnek ‐ ami egyúttal azt is adja, hogy az (1) szerinti maximumot az $ST$ szakasz fel is veszi, és egyedül az $M_0$ pontban.
Ez utóbbi állítás igazolását azzal kezdjük, hogy megmutatjuk: az $S_0$, $T_0$ pontok $A_1$, $S_0$, $T_0$, $B_1$ sorrendben helyezkednek el az $A{}_1{B}_1$ egyenesen. Ehhez elegendő látni, hogy $A_1{S}_0=T_0{B}_1=\sqrt[]{A{A}_1\cdot B{B}_1}\le A_1{B}_1/2.$
A $CD$ íven tetszőleges $M$ pontot felvéve a hozzá tartozó $S$, $T$ pontokra $T{B}_1\le S{B}_1$, így

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{A{A}_1\cdot B{B}_1}=\sqrt[]{A_{1}S\cdot T{B}_1}\le \sqrt[]{A_{1}S\cdot S{B}_1}\le \frac{A_{1}S+S{B}_1}{2}=\frac{A_1{B}_1}{2}\mathrm{,}}\end{array}$

a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség miatt. Az egyenlőtlenségláncolat első és utolsó tagja adja a kívánt egyenlőtlenséget.
Az $A{S}_0$ és $B{T}_0$ egyenesek tehát metszik egymást, mégpedig az $A_1{B}_1$ egyenesnek $A$-val, $B$-vel ellentétes partján. Így abból, hogy $A{M}_{0}B\sphericalangle ={90}^{\circ }$ már következik, hogy $M_0$ a $CD$ körív pontja. Először is, $A{A}_1{S}_0$ és $T_0{B}_{1}B$ hasonló derékszögű háromszögek, hiszen $A{A}_1:A_1{S}_0=T_0{B}_1:B_{1}B$. Így

$\begin{array}{c}{\displaystyle {90}^{\circ }=A_1{S}_{0}A\sphericalangle +B_1{T}_{0}B\sphericalangle =M_0{S}_0{T}_0\sphericalangle +M_0{T}_0{S}_0\sphericalangle \mathrm{.}}\end{array}$

Az $M_0{S}_0{T}_0$ háromszög harmadik szöge valóban ${90}^{\circ }$, az $M_0$ pontja a $CD$ körívnek. A megszerkesztendő pont tehát $M_0$, és ezt meg is szerkesztettük.

 

Megjegyzés. A feladatnak megoldásánál alapvető fontosságú az a gyakran "elfelejtett'' rész, hogy a szerkesztés helyességét is igazolni kell. Abból ugyanis, hogy az $ST$ szakasz hosszára (1)-ben egy felső korlátot találtunk, és megmondjuk, hogyan szerkesszük meg azt a pontot, amire $ST$ ezt fel tudja venni, még nem következik, hogy a feladatot megoldottuk: mi biztosítja, hogy szerkesztésünk valóban ad pontot, és ráadásul az a $CD$ ívre is esik? Azt hogy valóban ez a helyzet, külön igazolnunk kell, jelen esetben ez egyáltalán nem nyilvánvaló!

 

II. megoldás. Húzzunk $A$-n keresztül párhuzamost $CD$-vel, messe ez a félkört másodszor $E$-ben (4. ábra). Tekintsük az $AE$ egyenesnek azt a $T\text{'}$ pontját, amelyre az $ASTT\text{'}$ négyszög paralelogramma.

 

 

4. ábra

 

 

 

5. ábra

 

Mivel $AT\text{'}=ST$, $CD||AE$, ezért $T\text{'}$ belső pontja az $AE$ szakasznak. Az $AEB\sphericalangle =T\text{'}EB\sphericalangle$ derékszög, tehát $AT\text{'}$ és így $ST$ annál nagyobb, minél rövidebb $BT\text{'}$. Mivel $T\text{'}T$ és $AS$ párhuzamos, $T\text{'}TB\sphericalangle =AMB\sphericalangle ={90}^{\circ }$. Legyen $BT\text{'}$ felezőpontja $K$, erre $BT\text{'}=2BK=2\cdot KT\mathrm{.}$ Ha párhuzamost húzunk az $AB$ átmérő $F$ felezőpontján át $AE$-vel, $K$ rajta lesz ezen az $e$ egyenesen, és $KT$ nem kisebb, mint $e$ és az $AE$ egyenes $d$ távolsága. Ha tehát tudunk olyan $M$ pontot szerkeszteni, amelyhez tartozó $T\text{'}$ pontra $BT\text{'}=2d\mathrm{,}$ akkor erre az $M$ pontra lesz az $ST$ szakasz maximális. Ennek szerkesztése a következőképp történhet. $B$ középpontú, $2d$ sugarú kört húzunk, ez az $AE$ szakaszt pontosan egyszer metszi. Ugyanis $BE$ az $e$ és $AE$ távolságának kétszerese, ami kisebb $e$ és $CD$ távolságának kétszeresénél, $2d$-nél, következésképp a körnek van metszéspontja az $AE$ egyenessel. Másrészt $2d$ kisebb a kör átmérőjénél, $BE\perp AE$, így a kör és az $AE$ egyenes egyik metszéspontja az $AE$ szakaszon van, a másik a szakasz $E$-n túli meghosszabbításán. Legyen ez a metszéspont $T\text{'}$. A $BT\text{'}$ mint átmérő fölé rajzolt kör éppen érinti a $CD$ egyenest, hiszen középpontja $d$ távolságra van a $CD$ egyenestől, és $d$ ennek a körnek a sugara. Legyen az érintési pont $T$. Messe $BT$ egyenes az $AB$ fölötti félkört másodszor $M$-ben. $BTT\text{'}\sphericalangle ={90}^{\circ }$ és $AMB\sphericalangle ={90}^{\circ }\mathrm{,}$ a két szög egy szára közös, tehát $AM$ és  $TT\text{'}$ párhuzamos. Ebből következik, hogy $M$ csak a $CD$ köríven és $T$ csak a $CD$ szakaszon lehet.
Állítjuk, hogy $M$ éppen a keresett pont, ami most már nyilvánvaló: $AM$ és $CD$ metszéspontját $S$-sel jelölve a szerkesztett $ASTT\text{'}$ négyszög paralelogramma, tehát $M$-hez éppen olyan $T\text{'}$ tartozik, amelyre $BT\text{'}=2d\mathrm{.}$