Kezdőlap


Feladat:	Gy.2202	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1985/március, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/május: Gy.2202

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $C A B ∢ = α .$ Ekkor $E B D ∢ = α$ , hiszen $B D ⊥ A B$ és $B E ⊥ A C$ miatt $C A B ∢ és E B D ∢$ merőleges szárú szögek, s mivel mindkettő hegyesszög, egyenlők.
Jelölje $G$ az $E F$ és $A B$ egyenesek metszéspontját. A szerkesztésből következik, hogy $E G B D$ -nek mind a négy szöge derékszög, s ezért $G B = E D$ , $B D = G E$ . Továbbá az $A D B$ és $B D E$ hasonló derékszögű háromszögekből $A B : B D = B D : D E$ , vagyis

\begin{matrix} A B \cdot D E = A B \cdot B G = B D^{2} . \end{matrix}

(1)

A F B

derékszögű háromszögben (bármelyik is legyen

F

a két metszéspont közül) a befogó tétel szerint

\begin{matrix} F B^{2} = B G \cdot B A és így (1) szerint F B^{2} = B D^{2}, \end{matrix}

azaz

F B D

egyenlő szárú. Így

F D

alapjának felező merőlegese mindig átmegy a szemközti

B

csúcson, feltéve, hogy a

D

E

és

F

pontok létrejönnek.

D

és

E

pontok akkor jönnek létre, ha

C

A

-tól és

B

-től különbözik;

F

létezésének szükséges és elégséges feltétele, hogy

E D \leq A B

legyen, ami (1) szerint ekvivalens azzal, hogy

B D \leq A B,

vagyis

α \leq 45^{\circ}

. A feladat feltételeit tehát azok az

A

-tól és

B

-től különböző

C

pontok teljesítik, amelyekre a

B C

ív

A

-ból való látószöge legfeljebb

45^{\circ}

. Ezek a pontok pedig azon a zárt félköríven helyezkednek el, amelyre az

A B

-re merőleges

K L

átmérő osztja a kört, s amely a

B

pontot tartalmazza.