Kezdőlap


Feladat:	Gy.2199	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Abszolútértékes egyenlőtlenség-rendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/május: Gy.2199

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két egyenlőtlenséget összevetve

\begin{matrix} | x^{2} - 2 x | - 1 / 2 < y \leq 2 - | x - 1 | \end{matrix}

(1)

adódik, ahonnan

\begin{matrix} | x^{2} - 2 x | - 1 / 2 < 2 - | x - 1 | . \end{matrix}

Rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} | x^{2} - 2 x | + | x - 1 | < 5 / 2. \end{matrix}

A bal oldal nem negatív és egész, ha

x

egész, tehát lehetséges értékei 0, 1 és 2. Ha

x

egész, akkor

x^{2} - 2 x

és

x - 1

különböző maradékot adnak 2-vel osztva, így a bal oldal páratlan. Eszerint

\begin{matrix} | x^{2} - 2 x | + | x - 1 | = 1, \end{matrix}

és a tagok nem negatív egészek, tehát egyikük 0, másikuk pedig 1.
Ha

| x^{2} - 2 x | = 0

, akkor

x = 0

vagy

x = 2

, és mindkét esetben

| x - 1 | = 1

, ha pedig

| x - 1 | = 0

, akkor

x = 1

és ekkor

| x^{2} - 2 x | = 0

, így

x

lehetséges értékei 0, 1 és 2.
Ha

x = 0

, vagy

x = 2

, akkor (1)-ből

\begin{matrix} - 1 / 2 < y \leq 1, vagyis y = 0 vagy y = 1. \end{matrix}

x = 1

, akkor (1)-ből

\begin{matrix} 1 / 2 < y \leq 2, vagyis y = 1 vagy y = 2. \end{matrix}

Az egyenlőtlenség-rendszernek tehát hat egész megoldása van, ezek

\begin{matrix} (0, 0); (0, 1); (1, 1); (1, 2); (2, 0); (2, 1) . \end{matrix}

Megjegyzés. Nagyon sok megoldónktól érkezett grafikus megoldás. A függvény diszkusszióval ellátott és az ábráról leolvasott eredmények ellenőrzését is elvégző dolgozatokat helyesnek minősítettük, de a csupán rajzot és (hibátlan) eredményt közlő dolgozatok hiányosak.