Kezdőlap


Feladat:	Gy.2195	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/november, 390 - 391. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/április: Gy.2195

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az $A B = c$ átfogó felezőpontja $F$ , a beirt kör sugara $ϱ$ , érintési pontjai az $A B$ -n $D$ , $A C$ -n $E$ . Legyen $A F$ az a szakasz, ami a feltétel szerint derékszög alatt látszik. Ekkor $A O F$ derékszögű háromszögben a magasságtétel szerint (1. ábra).

\begin{matrix} D O^{2} = A D \cdot D F = ϱ^{2} . & (1) \end{matrix}

1. ábra

Tudjuk továbbá, hogy

\begin{matrix} ϱ = O E = C E = s - c = \frac{a + b - c}{2}, \end{matrix}

illetőleg

\begin{matrix} D A = s - a = \frac{b + c - a}{2}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} D F = \frac{c}{2} - A D = \frac{a - b}{2} . \end{matrix}

A D

D F

és

ϱ

fenti kifejezéseit (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} (\frac{b + c - a}{2}) (\frac{a - b}{2}) = {(\frac{a + b - c}{2})}^{2}, & (2) \end{matrix}

azaz

3 a c + b c = 2 a^{2} + 2 b^{2} + c^{2}

. Ebből és az

a^{2} + b^{2} = c^{2}

összefüggésből

\begin{matrix} b = 3 c - 3 a, \end{matrix}

amit a

b^{2} = c^{2} - a^{2}

-be visszahelyettesítve és rendezve

\begin{matrix} 5 {(\frac{a}{c})}^{2} - 9 (\frac{a}{c}) + 4 = 0. \end{matrix}

Az egyenletből

\frac{a}{c} = 1

vagy

\frac{a}{c} = \frac{4}{5}

. Az első érték nyilván nem felel meg a feltételnek, hiszen

c > a

. Ha pedig

\frac{a}{c} = \frac{4}{5}

, akkor

\frac{b}{c} = \frac{3 c - 3 a}{c} = \frac{3}{5}

, azaz a derékszögű háromszög oldalainak aránya

3 : 4 : 5

. Ilyen értékekkel (2) teljesül, és így (1) is, ami azt jelenti, hogy ekkor az

A F

szakasz

O

-ból valóban derékszög alatt látszik.

II. megoldás. Legyen a háromszög

A B

átfogójának felezőpontja

F

és tegyük fel, hogy

O

közelebb van

A

-hoz, mint

B

-hez (2. ábra).

2. ábra

O A

O B

O C

szakaszok a háromszög szögfelezői, tehát

\begin{matrix} A O B ∢ = 180^{\circ} - (O A B ∢ + O B A ∢) = 180^{\circ} - (\frac{α}{2} + \frac{β}{2}) = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}, \end{matrix}

mivel a háromszög

C

-nél derékszögű és így

α + β = 90^{\circ}

. A feltétel szerint

A O F ∢ = 90^{\circ}

, tehát

B O F ∢ = 135^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ}

. Nagyítsuk ki

B

-ből kétszeresére a

B O F

háromszöget,

F

ekkor

A

-ba,

O

pedig ‐ mondjuk ‐

P

-be kerül. A nagyítás miatt

\begin{matrix} A P = 2 \cdot F O és B P A ∢ = O P A ∢ = B O F ∢ = 45^{\circ} . \end{matrix}

O A P

háromszögben tehát

P

-nél

45^{\circ}

-os szög van,

O

-nál

180^{\circ} - B O A ∢ = 45^{\circ}

. Ezért

O P A

egyenlő szárú:

A O = A P

, tehát

\begin{matrix} A O : O F = A P : O F = 2 : 1. \end{matrix}

Legyenek a beírt kör érintési pontjai az

A B, B C, C A

oldalakon rendre

R

S

és

T

. Az

A O F

és

A R O

derékszögű háromszögek hasonlók, hiszen

A

-ban közös szögük van, ezért

A R : R O = A O : O F = 2 : 1

, következésképp

\begin{matrix} A R = A T = 2 O R = 2 ϱ, \end{matrix}

ahol

ϱ

jelöli a beírt kör sugarát. Az

O S C T

négyszög

S

-nél,

C

-nél,

T

-nél levő szöge derékszög,

O S = O T = ϱ

, ezért ez a négyszög négyzet is, tehát

\begin{matrix} C S = C T = ϱ . \end{matrix}

Végül a még ismeretlen

B R = B S = x

szakaszt a Pitagorasz-tételből számítjuk ki:

\begin{matrix} {(A R + x)}^{2} = {(C S + x)}^{2} + C A^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(2 ϱ + x)}^{2} = {(ϱ + x)}^{2} + 9 ϱ^{2}, \end{matrix}

ahonnan

x = 3 ϱ

. Innen a háromszög oldalainak aránya

\begin{matrix} A B : B C : C A = (A R + R B) : (B S + S C) : (C T + T A) = 5 ϱ : 4 ϱ : 3 ϱ, \end{matrix}

egyezésben az előző megoldás során kapott értékekkel.