Kezdőlap


Feladat:	Gy.2191	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/április, 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/április: Gy.2191

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy két vonat érkezése között $d$ perc telik el, továbbá hogy a vonatok elhanyagolható ideig tartózkodnak az állomáson. Vizsgáljuk meg, hogy a feltételek alapján milyen határok adódnak $d$ -re !
Jancsi 12 perces várakozása során 5 vonat érkezett. A lehetséges legritkább menetrend esetén ez úgy képzelhető el, ha Jancsi egy vonattal egyidőben érkezett és az ezt követő ötödik vonat érkezésekor távozott Juliskával; az állomáson tehát éppen $4 d$ percet töltött. A legsűrűbb menetrend mellett úgy kerülhetett sor a 12 perces várakozásra, ha Jancsi épp egy vonat távozásakor futott be, öt vonatot megvárt, téblábolt még egy darabig ‐ Juliska talán beteg volt aznap ‐ és mielőtt a hatodik vonat megérkezett volna, elment. Így

\begin{matrix} 4 d \leq 12 < 6 d, ahonnan \\ 2 < d \leq 3. \end{matrix}

A másik alkalommal viszont Juliska megjött a huszadik perc végén, így attól függően, hogy Jancsi egy vonat már megfigyelt érkezésével egyidőben, vagy pedig egy éppen elment vonat távozásakor kezdte meg a várakozást,

\begin{matrix} 6 d \leq 20 \leq 7 d, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{20}{7} < d \leq \frac{10}{3} \end{matrix}

adódik. A kapott feltételeket egybevetve a szerelvények sűrűségére kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{20}{7} < d \leq 3. \end{matrix}

A 30 perces várakozás során így Jancsi legalább 10 és legfeljebb 11 vonat érkezését figyelhette meg. Ennél több vonat érkezését ugyanis legalább

11 d

percig kellett volna figyelnie, ami mindenképpen több, mint 220/7 perc, és megfordítva, 10-nél kevesebb vonatot csak

10 d

-nél ‐ tehát 30 percnél mindenképpen ‐ rövidebb várakozás alatt láthatott volna befutni.
Mindkét változat elképzelhető, ha például

d = 2, 9

perc, ami éppen lehetséges. Ha Jancsi

0, 1

perccel egy távozó vonat után érkezett, akkor a tizedik vonat

2, 8 + 9 \cdot 2, 9

perccel később futott be, Jancsi

1, 1

percig várt, aztán Juliskával vagy nélküle távozott. Ha viszont Jancsi 1 perccel egy vonat előtt ért az állomásra, Juliska pedig a 11. metróval érkezett, akkor a félórányi várakozása során Jancsi éppen tizenegy vonat érkezését figyelhette meg.