Először megvizsgáljuk, hogy milyen élei, illetve lapjai lehetnek egy ilyen tetraédernek. Eközben a háromszög-egyenlőtlenséget használjuk majd fel. A talált élrendszerekből azonban nem szükségképpen építhető valóságos tetraéder, így megadunk egy feltételt, amelynek segítségével ‐ némi számolás után ‐ valamennyi talált élrendszerről eldönthető, hogy létezik-e a neki megfelelő tetraéder.
Betűzzük meg a tetraéder éleit az 1. ábra szerint.

 

1. ábra

 

2. ábra

${\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{ a }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ b }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ c }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ d }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ e }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ f }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ I. }}& \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ II. }}& \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ III. }}& \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ IV. }}& \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ V. }}& \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ VI. }}& \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ VII. }}& \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ VIII. }}& \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill \end{array}}$

 

1. táblázat

 

 

3.a ábra

 

 

 

3.b ábra

 

A 3. ábra sejteti, hogy az élrendszer, illetve az oldallapok létezése még nem feltétlenül jelenti a megfelelő tetraéder létezését is. Vizsgáljuk meg, minek kell teljesülnie ahhoz, hogy létező oldallapokból tetraédert építhessünk! Terítsük ki ehhez egy tetraéder élvázát az $ABC$ lapjának az $S$ síkjára (4a ábra).

 

 

4.a ábra

 

Ha a satírozott két háromszöget "fel tudjuk hajtani'' egy $B$ csúcsú triéderré, akkor a triéderben a $B$ csúccsal szemközt egy $f$, $b$, $d$ élű ‐ tehát a megmaradt $C{D}_{B}A$ háromszöggel egybevágó háromszög jön létre (4b ábra), amely ezzel a negyedik lappal így lezárható.

 

 

4.b ábra

 

Azt állítjuk, hogy a $B$ csúcsú triéder létrejötte kizárólag az élváz $B$ csúcsánál levő három szög, a $D_{A}BC$, a $CBA$ és az $AB{D}_C$ szögek (a 4a ábrán $\phi$, $\gamma$ és $\delta$) viszonyától függ.
A szóban forgó triéder ugyanis pontosan akkor jön létre, ha a $B{D}_C$ félegyenesnek a $BA$ tengely körüli, illetve a $B{D}_A$ félegyenesnek a $BC$ tengely körüli megforgatásával kapott két, $B$ csúcsú kúppalást metszi egymást ‐ a metszésvonal két, az $S$ síkra szimmetrikus alkotó (5. ábra).

 

 

5. ábra

 

A két kúppalást viszont pontosan akkor metszi egymást, ha az említett három szög közül bármelyik kettő összege nagyobb a harmadiknál. A feltétel ugyanis elégséges, hiszen ebben az esetben az egyik palástot rögzítve a másik, forgó egyenesnek az $S$ síkba eső két helyzete közül az egyik a paláston kívül, a másik pedig annak belsejében halad, így útja során feltétlenül metszenie kell azt. Szükséges is a feltétel, hiszen ha $\phi +\delta \leqq \gamma$, akkor a két kúppalást "egymáson kívül'' helyezkedik el (esetleg érintik egymást az $S$ síkban) ‐ ez felel meg a 3a ábra "túl kicsi'' oldallapjainak ‐ ha pedig például $\delta +\gamma \leqq \phi$, akkor a nagyobb nyílásszögű kúppalást tartalmazza a kisebbiket (3b ábra).
Ezt a ‐ némiképpen a háromszög egyenlőtlenségre emlékeztető ‐ szükséges és elégséges feltételt kell most már ellenőriznünk a talált nyolc élrendszerre. Jegyezzünk meg azonban még annyit, hogy noha a $B$ csúcs, illetve a $B$-nél létrejövő szögek kiválasztása önkényesnek tűnhet, a fentiekből az is következik, hogy a talált feltétel egyidejűleg teljesül vagy nem teljesül, akármelyik lapot és azon bármelyik csúcsot szemeljük is ki.
Nos, ami a számolást illeti, a szögeket a koszinusztétel segítségével számolhatjuk, a
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{cos}\phi =\frac{e^2+a^2-f^2}{2ae};\text{cos}\gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}\delta =\frac{b^2+e^2-d^2}{2be}}\hfill \end{array}}$

összefüggések alapján. Így a 2. táblázatban szereplő értékek adódnak.
A táblázat adatait szemügyre véve látható, hogy az első hét esetben teljesül a feltétel, a nyolcadik esetben viszont nem, $\phi >\gamma +\delta$ így a VIII. $\left\{\mathrm{3,3,3,2,2,4}\right\}$ élű tetraéder nem létezik.

 

 

2. táblázat

 

Összefoglalva tehát összesen hét olyan tetraéder létezik, amelyek éleinek hossza egész szám, s az élek hosszának összege 17. A megoldásokat az 1. táblázat első hét sora tartalmazza.

 

Megjegyzések. 1. Megállapodás szerint az ilyen típusú feladatok egybevágó megoldásait nem tekintjük különbözőnek, azonban térbeli alakzatokról lévén szó, indokoltnak tűnhet a csak síkra való tükrözéssel egymásba vihető alakzatok megkülönböztetése. (Gondoljunk egy pár kesztyű két darabjára, vagy a balkezesek a jobbkezes ollókra. Nálunk kizárólag ilyenek kaphatók.)
Ennek megfelelően a 2. ábra "nyílt'' esetében kapott megoldások ‐ a VI. és a VII. ‐ valamilyen síkra vonatkozó tükörképei egy-egy ‐ ilyen értelemben ‐ újabb megoldást adnak. Az I‐V. megoldásban az $a$ él felező merőleges síkja szimmetriasík, a tükrözés nem vezet új megoldásra.
2. Megemlítjük, hogy a VII-es megoldásban 2‐2 lap egyező körüljárásúan egybevágó és van olyan tengely, amely körül a ${180}^{\circ }$-os forgatás önmagába viszi át a testet, ez a $b$, $d$ élpár felezőpontjait összekötő egyenes. A kristálytanban digirnek nevezik az ilyen tengelyt. Síkidomot az ilyen forgatás a tengelyes tükörképébe viheti át, ha van tengelye ‐ pl. egyenlő szárú háromszöget ‐ , térbeli alakzatnál viszont a forgatás és a tükrözés lényegesen különböző szimmetriaműveletek.