Kezdőlap


Feladat:	Gy.2185	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóna Miklós
Füzet:	1984/december, 447 - 448. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/március: Gy.2185

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy egyfordulós körmérkőzéses bajnokságon minden versenyző egyszer játszik valamennyi ellenfelével. Így minden versenyző ‐ így a győztes is ‐ $k$ mérkőzést játszik, és a résztvevők száma $k + 1$ .
Jelölje a győztes versenyző megnyert mérkőzéseinek számát $n$ . Ekkor, mint tudjuk:

\begin{matrix} 0, 68 k < n < 0, 69 k . \end{matrix}

(1)

Most adjunk korlátot a győztes versenyző elvesztett mérkőzéseinek számára,

(k - n)

-re. (1)-ből következik, hogy

\begin{matrix} 0, 31 k < k - n < 0, 32 k . \end{matrix}

(2)

Ezt

2

-vel szorozva és (1)-et felhasználva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} 0, 62 k < 2 (k - n) < 0, 64 k < 0, 68 k < n < 0, 69 k . \end{matrix}

(3)

Mivel

2 (k - n)

és

n

különböző egész számok, így (3) szerint

0, 62 k

és

0, 69 k

közé két egész szám is esik, tehát

\begin{matrix} 0, 69 k - 0, 62 k > 1, \end{matrix}

(4)

ahonnan átrendezéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} k \geq 15 . \end{matrix}

(5)

Mivel

0, 68 \cdot 15 = 10, 2

és

0, 69 \cdot 15 = 10, 35

, így

k = 15

mellett (1) nem teljesülhet.

k = 16

esetén viszont

\begin{matrix} 0, 68 \cdot 16 = 10, 88 < 11 < 0, 69 \cdot 16 = 11, 04 \end{matrix}

(6)

Tehát

k = 16

és

n = 11

mellett (1)‐(6) mindegyike fennáll. Ez azonban nem elegendő a kérdés megválaszolásához, még azt is meg kell mutatni, hogy elképzelhető olyan

17

résztvevős körmérkőzéses bajnokság, ahol a győztes

11

mérkőzést nyert meg. (Erről egyébként szinte minden beküldő megfeledkezett.)

A bajnokság eredményeinek megadásához tekintsünk egy

V

versenyzőt, legyen ez a győztes, a megmaradt

15

versenyzőt pedig osszuk egy

6

-os és két

5

-ös csoportba.

V

győzze le a

6

-os és az egyik

5

-ös csoport tagjait, és kapjon ki a másik

5

-ös csoport tagjaitól. Ezzel

11

győzelme és

5

veresége van. A

6

-os csoport tagjai győzzék le azokat, akik legyőzték

V

-t, és kapjanak ki azoktól, akiket

V

megvert. Végül a két

5

-ös csoportban azok, akik

V

-t legyőzték, nyerjenek azok ellen, akik

V

-től kikaptak.
Nem nehéz látni, hogy az egyes csoportokon belüli eredményektől függetlenül

V

-t kivéve mindenkinek legalább

6

veresége van ‐ így

V

valóban nyertes.
Így a bajnokságon legalább

17

-en indultak, és

17

-en indulhattak is.