Kezdőlap


Feladat:	Gy.2182	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pongor Gábor
Füzet:	1984/november, 388. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények monotonitása, Harmadfokú függvények, Másodfokú függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/március: Gy.2182

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megadunk egy ilyen felbontást. Legyen

\begin{matrix} g (x) = x^{2} + 2 x^{2} + 5 x - 3, \\ h (x) = x^{3} . \end{matrix}

Ekkor

f (x) = g (x) - h (x)

. Állítjuk, hogy

g (x)

és

h (x)

szigorúan monoton növő függvények. Valóban legyen

x_{1} > x_{2}

. Ekkor

\begin{matrix} g (x_{1}) - g (x_{2}) = (x_{1}^{3} + 2 x_{1}^{2} + 5 x_{1}) - (x_{2}^{3} + 2 x_{2}^{2} + 5 x_{2}) = \\ = (x_{1} - x_{2}) (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 5) = \\ = \frac{1}{2} (x_{1} - x_{2}) (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + {(x_{1} + x_{2} + 2)}^{2} + 6) > 0, \end{matrix}

hiszen az utolsó szorzat mindkét tényezője pozitív. Hasonlóan

\begin{matrix} h (x_{1}) - h (x_{2}) = x_{1}^{3} - x_{2}^{3} = (x_{1} - x_{2}) (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = \\ = (x_{1} - x_{2}) [{(x_{1} + \frac{1}{2} x_{2})}^{2} + \frac{3}{4} x_{2}^{2}] > 0. \end{matrix}

Mivel az első tényező

x_{1} > x_{2}

miatt pozitív, a második nem negatív és csak akkor

0

, ha

x_{1} = x_{2} = 0

, ami ellentmond az

x_{1} > x_{2}

feltevésnek, így mindkét függvény szigorúan monoton növő, és

f (x) = g (x) - h (x)

egy kívánt alakú felbontás.