Feladat: Gy.2181 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1987/november, 384 - 385. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Gömbi geometria, Kocka, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/február: Gy.2181

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kocka éleinek felező merőleges síkjai (összesen 3 db egymásra páronként  merőleges sík) a kocka köré írt gömb felszínét 8 egybevágó gömbháromszögre bontják. Ezen gömbháromszögek oldalai egyenlőek, mert minden oldal hossza megegyezik egy gömbi főkör negyedével. Könnyen látható, hogy a kocka csúcsai éppen ezeknek a gömbháromszögeknek a középpontjai, vagyis az egyes gömbháromszögek csúcsait a szemközti oldalak felezőpontjával összekötő főkörök metszéspontjai. Az, hogy e három főkör gömbháromszögeinkben egy ponton megy át, abból következik, hogy közülük bármely kettőnek a metszéspontja a gömbháromszög mindhárom csúcsától egyenlő távolságra van.
Ezek alapján feladatunk az, hogy a gömbön kijelöljünk 3 egymásra páronként merőleges főkört, amelyek meghatározzák a 8 egybevágó gömbháromszöget, majd megszerkesszük a gömbháromszögek középpontjait. Ezek a középpontok egy kocka csúcsai lesznek, mert a gömbháromszögek egybevágósága miatt az egy félgömbön levő 4 gömbháromszög a félgömb tengelye körüli 90∘-os forgatásokkal egymásba vihető, tehát középpontjaik egy négyzet csúcsait alkotják. Mivel ez bármely egy félgömbön levő négyesre igaz, ezért a 8 középpont egy olyan hatlapú konvex test 8 csúcsa, amelynek minden lapja négyzet. Ilyen test pedig csak egy van, a kocka.
A szerkesztés menete ezek után a következő. Megrajzolunk egy tetszőleges k1 főkört, és a 0∘, 90∘, 180∘, ill. a 270∘-os beosztások mentén kijelöljük az A, B és a velük átellenes A*, B* pontokat. Az AA* és a BB* így a gömb merőleges átmérői. A B és a B* pontokon át fölveszünk egy, az előzőtől különböző k'1 főkört, és e mentén addig forgatjuk a sapkát, amíg a 0∘-os beosztás a B pontba esik. A 180∘-os beosztás ekkor a B* pontban van, a 90∘ és a 270∘-os beosztások pedig egyenlő távolságra vannak az átellenes B és B* pontoktól (1. ábra). Az ezekben fölvett C, ill. C* pontok tehát rajta vannak az A-n és A*-on áthaladó, BB*-ra merőleges k2 főkörön, amelynek S2 síkja így merőleges a k1 főkör S1 síkjára.

 
 
1. ábra
 

 
 
2. ábra
 

Illesszük most a k2 főkörre a sapkát úgy, hogy a 0∘-os beosztás az A pontban legyen (ekkor persze a 180∘-os osztásvonal A*-ra esik). A 90∘ és a 270∘-os beosztásokban kijelölt D és D* pontok benne vannak az AA* átmérő felező merőleges síkjában. A B, D, B*, D* pontok tehát egy k3 főkörön vannak (2. ábra), amelynek S3 síkja bármely, az AA* átmérőn átmenő síkra, így az S1-re és az S2-re is merőleges.
Végül a nyolc egybevágó gömbháromszög oldalait a fokbeosztás segítségével megfelezzük, majd a felezőpontokat a szemközti csúccsal összekötve ‐ azaz megrajzolva a szóban forgó pontokon átmenő főkört ‐ megkapjuk a gömbháromszögek középpontjait, amelyek a fentiek szerint valóban egy kocka csúcsai.
 

Megjegyzések. 1. A 8 darab gömbháromszög középpontjának szerkesztéséhez elegendő 4 főkört megrajzolnunk, mert például a 2.ábrán látható ABD, ABD*, A*B*D és A*B*D* gömbháromszögek AB, illetve A*B* oldalát felező főkörök egybeesnek.
2. A sapka peremén adott beosztásból kizárólag a 0∘,45∘,90∘,180∘ és a 270∘-os osztópontokra volt szükségünk (a 45∘-os beosztást a gömbháromszögek oldalának megfelezésekor kell használnunk).