Feladat: Gy.2180 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1984/szeptember, 256. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Körülírt kör, Beírt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/február: Gy.2180

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a körök középpontjait az ábra szerint O1, O2 és O3-mal.

 
 

Mivel a körök két-két szomszédos oldalt érintenek, továbbá sugaraik egyenlők, azért egyrészt O1, O2, O3 mindegyike rajta van az ABC háromszög valamelyik belső szögfelezőjén, másrészt az O1O2O3 háromszög oldalai párhuzamosak az ABC háromszög valamelyik oldalával ‐ a két háromszög tehát középpontosan hasonló. A hasonlóság középpontja az AO1, BO2, CO3 szögfelezők H metszéspontja, amely egyben az ABC háromszög beírt körének is középpontja. A körök sugarai egyenlők, így a három kör közös pontja P egyenlő távolságra van az O1, O2, O3 pontoktól, és ezért P az O1O2O3 háromszög körülírt körének középpontja. Az a H középpontú hasonlóság, amely O1O2O3 háromszöget az ABC háromszögbe viszi át, P-t az ABC háromszög körülírt körének P' középpontjába viszi, s e hasonlóságból következik, hogy a három pont, H, P és P' valóban egy egyenesen sorakozik. Ezt akartuk bizonyítani.