Kezdőlap


Feladat:	Gy.2178	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/november, 387 - 388. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/február: Gy.2178

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $A B C$ háromszög derékszögű, a derékszög a $C$ csúcsnál van, vagyis $A C ⊥ B C$ . Ez, valamint $O M ⊥ B C$ miatt $O M | | A C$ , s mivel $O$ felezi $A B$ -t, $O M$ az $A B C$ háromszög középvonala. Így $A C = 2 O M$ .

A B C

derékszögű háromszög

A C

befogójára felírhatjuk az ismert befogótételt. Az

A D = x

jelölés mellett, felhasználva az előző összefüggéseket

\begin{matrix} 2 \cdot O M = A C = \sqrt[]{A D \cdot A B} = \sqrt[]{A D \cdot (A D + D B)} = \sqrt[]{x (x + 3 \cdot O M)} . \end{matrix}

Innen rendezés után az

\begin{matrix} x^{2} + 3 \cdot O M x - 4 \cdot O M^{2} = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlethez jutunk. Az egyenlet gyökei

x_{1} = O M

x_{2} = - 4 \cdot O M

, közülük nyilván csak a pozitív értékűt kell figyelembe vennünk. Az

A B C

háromszögben tehát

A B = A D + D B = 4 O M

, innen

A B = 2 \cdot A C

. Az

A B C

tehát olyan derékszögű háromszög, melyben az átfogó kétszerese a

B

csúccsal szemközti befogónak, amiből következik, hogy

A B C ∢ = 30^{\circ}

II. megoldás. Rögzítsük a kör

A B

átmérőjét. Indítsuk el a

C

pontot az

A

-ból, és fusson

C

a kör kerületén egészen

B

-ig. Menet közben

C

egyre távolodik

A

-tól ‐ vagyis az

A C = 2 \cdot O M

távolság egyre nő ‐,

C

-nek az

A B

-re eső

D

vetülete pedig közeledik

B

-hez ‐ vagyis

D B

állandóan csökken. Ezek szerint az

O M / D B

hányados számlálója nő, nevezője csökken, tehát a tört értéke

C

mozgása közben folyamatosan nő. Így

C

-nek legfeljebb egy olyan helyzete lehet, amikor az

O M / D B

hányados értéke

1 / 3

.
Azt könnyű látni, hogy ha

A B C ∢ = 30^{\circ}

, akkor

O M / D B = 1 / 3

. Valóban,

O M / D B = (O M / M B) \cdot (M B / D B)

és

O B M ∢ = C B D ∢ = 30^{\circ}

esetén

\begin{matrix} \frac{O M}{M B} = \frac{1}{\sqrt[]{3}}, \frac{M B}{D B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{C B}{D B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

O M / D B

hányados értéke

C

-nek semmilyen más helyzetében nem lehet

1 / 3

, tehát

D B = 3 \cdot O M

esetén

A B C ∢ = 30^{\circ}

, amivel a feladat kérdésére válaszoltunk.