Kezdőlap


Feladat:	Gy.2176	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/november, 386. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelrendezések, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/február: Gy.2176

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számozzuk meg a sokszög csúcsait pozitív körüljárás szerint $1$ -től $n$ -ig. Jelöljük $1 \leq i \leq n$ -re az $i$ -edik csúcshoz írt számot $a_{i}$ -vel. A többi pozitív egész $i$ -re legyen $a_{i} = a_{i - n}$ , azaz $a_{i}$ ahhoz az $1 \leq r \leq n$ sorszámú csúcshoz írt szám, amelyre $i = k \cdot n + r$ valamilyen $k$ egész számra.
A feltétel szerint minden $i$ -re

\begin{matrix} a_{i + 1} = a_{i} \cdot a_{i + 2} és a_{i + 2} = a_{i + 1} \cdot a_{i + 3}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a_{i + 2} = a_{i} \cdot a_{i + 2} \cdot a_{i + 3} . & (1) \end{matrix}

A felírt számok között nem szerepelhet a

0

, hisz akkor minden szám

0

volna. Így viszont (1)-ből

a_{i} \cdot a_{i + 3} = 1

, azaz minden

i

-re

\begin{matrix} a_{i} = a_{i + 6} . \end{matrix}

A feltétel szerint a felírt számok különbözők, s mivel

a_{i + 6}

a sokszög kerületén azonos

a_{i}

-vel, azért

n

6

-nak osztója.

n = 2

nyilván nem lehetséges. Az

n = 3

esetben

a

b

c

-vel jelölve a számokat

a = b c

b = c a

c = a b

, azaz

a^{2} = b^{2} = c^{2} = a b c

. A három szám abszolút értéke egyenlő és így közülük legalább kettő szintén az, vagyis a feltétel

n = 3

esetben nem teljesül.
Ha

n = 6

, akkor az ebben a sorrendben felírt

a

a b

b

1 / a

1 / a b

1 / b

számokra teljesül a feltétel, amennyiben

a

és

b

egymástól, illetve

1

-től,

(- 1)

-től és

0

-tól különböző számok.
A feladatban tehát

n

értéke csak

6

lehet.