Kezdőlap


Feladat:	Gy.2171	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Arnhold Gabriella , Balogh 961 Cs. , Bóna M. , Bősze T. , Cseke Z. , Deák T. , Dömötör L. , Grallert Ágnes , Habony Zs. , Hajdú S. Z. , Hoffmann Á. , Hornok S. , Kohári Zs. , Kolta Kinga , Kós G. , Madács L. , Nusser Z. , Pál A. , Pápai M. , Papp 694 L. , Papp 710 Zs. , Ribényi Á. , Sass B. , Szabó 529 G. , Szabó 968 A. , Szántó Gabriella , Szigeti Z. , Szkaliczki T. , Tornyi L. , Varga 822 Tünde , Werner P.
Füzet:	1984/szeptember, 255 - 256. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trapézok, Húrnégyszögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/január: Gy.2171

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $C A B$ szöget $α$ -val, a $C B A$ szöget $β$ -val, továbbá legyen $A B = a$ és $C D = b$ .

Mivel a trapéz húrtrapéz, szemben levő szögeire

A B C ∢ + C D A ∢ = 180^{\circ}

, de

A B C ∢ + B C D ∢

összege is

180^{\circ}

, és ezért

C D A ∢ = B C D ∢

, azaz a trapéz egyenlő szárú:

D A = C B = c

. A

C

-ből az

A B

alapra bocsátott merőleges

T

talppontja vagy az

A B

szakasz pontja, amikor is

\begin{matrix} B T = \frac{a - b}{2} és A T = a - \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}, \end{matrix}

vagy pedig az

A B

szakasz

B

-n túli meghosszabítására esik, és ekkor

\begin{matrix} B T = \frac{b - a}{2} és A T = a + \frac{b - a}{2} = \frac{a + b}{2} . \end{matrix}

A C T

és

B C T

derékszögü háromszögekből

\begin{matrix} tg α = \frac{C T}{A T} = \frac{2 C T}{a + b}, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} sin β = sin (180^{\circ} - β) = \frac{C T}{C B} = \frac{2 C T}{2 c} . \end{matrix}

Trapézunk egyben érintő trapéz is, ezért szemközti oldalainak összege egyenlő:

a + b = 2 c

, ahonnan leolvashatjuk a szögek közötti összefüggést:

\begin{matrix} tg α = sin β . \end{matrix}

Megjegyzés. A kapott összefüggés a következő értelemben megfordítható: ha az egyenlő szárú

A B C D

trapézban

tg C A B ∢ = sin C B A ∢

, akkor a trapéz húr- és érintőtrapéz is.