A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a négyzet oldala egységnyi, az egyik kör , és érintse ez -t és -at. Ekkor érinti -et, és és közül még egyet. Ez nem lehet , mivel ekkor és páronként érintenék egymást, és bármelyiket is érintené , , közül, az a többi körök közül hármat (és nem kettőt) érintene. Így csak -et és -et érintheti. Hasonlóan látható, hogy a -n kívül csak -at érintheti, s csak -et és -et. A feltétel szerint az érintő körök sugarai egyenlők, azért és sugara egyenlő ‐ mondjuk , továbbá és sugara is egyenlő ‐ . Semelyik kör nem érintheti a négyzet szemben fekvő oldalait, hiszen a négyzetbe még egy ugyanakkora sugarú körnek el kell férnie. Így a körök két-két szomszédos oldalt érintenek, középpontjaik a négyzet átlóin helyezkednek el. Az is világos, hogy egyik sem érintheti belülről a másikat, tehát a négy kör a négyzet négy sarkában "ül''. Tegyük fel először, hogy az sugarú és a négyzet szomszédos sarkaiban van. Mivel és nem metszheti egymást, sőt nem is érintheti, kisebb, mint a négyzet oldalának negyede, azaz 1/4. Hasonlóan és sugara is kisebb 1/4-nél, ekkor viszont és nem érinthetné egymást.
1. ábra Ezért és , valamint és is a négyzet átellenes sarkaiban van (1. ábra). sugara legfeljebb akkora lehet, hogy és metszés- és érintéspont nélkül elférjenek, vagyis hogy a által az átlóból kivágott szakasz az átló felénél rövidebb legyen: azaz Ha -et éppen ()-nek választjuk, és éppen érinti egymást a négyzet középpontjában. Ezekhez találhatók megfelelő és körök (2. ábra).
2. ábra Ha most (és ) sugarát folyamatosan csökkentjük, a hozzájuk tartozó , körök sugara folyamatosan nő. esetben mind a négy kör sugara egyenlő (3. ábra), -et tovább csökkentve és növekszik, s -et addig tudjuk csökkenteni, míg és "össze nem ér'' a négyzet középpontjában (4. ábra).
3. ábra
4. ábra Ebben a helyzetben és sugara az előbb kiszámított , s a vastagon kihúzott derékszögű háromszögből azaz Innen figyelembe véve, hogy , kapjuk, hogy A kör sugara csak ennél nagyobb, és ()-nél kisebb lehet, ám ezek között tetszőleges értéket felvehet. A és körökre nyilván ugyanez a helyzet. Így a feladat kérdésére a válasz: a kérdéses körök sugarai az nyílt intervallum valamelyik elemével, és csak ezekkel lehetnek egyenlők. |