Kezdőlap


Feladat:	Gy.2169	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benczúr A. , Czigány I. , Domokos M. , Kós G. , Kunszt P. , Pál G. , Vindics P. , Werner P.
Füzet:	1984/november, 384 - 385. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelrendezések, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/január: Gy.2169

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a számokat az óramutató járásával megegyező sorrendben $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{50}$ (tehát $a_{1}$ és $a_{50}$ is szomszédosak).

A három kiválasztott szám helyét ‐ amelyek szorzatát megkérdezzük ‐ egyértelműen meghatározza a középső. Ha ez a középső szám

a_{i}

, jelöljük a szorzatot

b_{i}

-vel. Az is látszik, hogy legfeljebb

50

különböző kérdést tudunk feltenni, hiszen ennél több szám nem állhat középen. Azt állítjuk, hogy az

50

szám szorzatát ebből az

50

kérdésből meg tudjuk állapítani. Valóban,

\begin{matrix} b_{1} \cdot b_{2} \cdot ... \cdot b_{50} = \\ = (a_{50} \cdot a_{1} \cdot a_{2}) (a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3}) \cdot ... \cdot (a_{49} \cdot a_{50} \cdot a_{1}) = \\ = {(a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{50})}^{3} . \end{matrix}

Mivel egy valós szám köbe egyértelműen meghatározza magát a számot, innen

a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{50}

értéke is meghatározható.
Másfelől azt állítjuk, hogy a szorzatot nem tudjuk meghatározni

49

vagy annál kevesebb kérdésből. Pontosabban a következő ‐ erősebb ‐ állítást igazoljuk: ha az első

49

kérdésre (akármi is volt az) a válasz az, hogy a kérdéses

3

szám szorzata

+ 1

, akkor még mindig elképzelhető, hogy az

50

szám szorzata

+ 1

, és az is, hogy az

50

szám szorzata

- 1

.
A

49

kérdés a

b_{1}, b_{2}, ..., b_{49}

számok közül legfeljebb

49

értékére kérdezhetett rá, így van olyan, amiről a kérdező nem tudja, hogy az

+ 1

vagy pedig

- 1

. Feltehetjük, hogy ez éppen a

b_{50}

. Így az előbb megfogalmazott állítás igazolásához elegendő egy kör kerületére kétféleképpen felírnunk

50

darab

(+ 1)

-et vagy

(- 1)

-et úgy, hogy

(1) az egyik esetben a felírt számok szorzata

+ 1

, a másikban

- 1

legyen;
(2) mindkét esetben a

b_{1}, b_{2}, ..., b_{49}

szorzatok értéke (a

b_{50} = a_{49} \cdot a_{50} \cdot a_{1}

kivételével)

+ 1

legyen.

Az egyik felírásban a kör kerületére

50

darab

+ 1

kerül; a másikat a mellékelt ábra mutatja:

a_{i} = + 1

i

3

-mal osztva

1

maradékot ad, és

a_{i} = - 1

egyébként.
Az első esetben a felírt számok szorzata

+ 1

; a másodikban

1 + 48 / 3 = 17

darab

+ 1

és

50 - 17 = 33

darab

(- 1)

szorzatát kell vennünk, ami

- 1

. Az első esetben

b_{1}, b_{2}, ..., b_{49}

nyilvánvalóan

+ 1

, míg a másodikban

b_{49}

kivételével a három tényező közül kettő

- 1

, egy pedig

+ 1

, vagyis ekkor is

b_{1} = b_{2} = ... = = b_{49} = + 1

.
A szorzat kitalálásához tehát legalább

50

kérdést fel kell tenni.

Megjegyzés.

50

kérdésből már többre is lehet következtetni, nevezetesen minden számról meg lehet mondani; hogy az

+ 1

vagy pedig

- 1

. Valóban, ismert

a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3}

a_{4} \cdot a_{5} \cdot a_{6}

...

a_{46} \cdot a_{47} \cdot a_{48}

, vagyis ezek szorzata is. Ismert

a_{1} \cdot ... \cdot a_{50}

is, tehát ezek hányadosa, vagyis

a_{49} \cdot a_{50}

is meghatározható. De

a_{49} \cdot a_{50} \cdot a_{1}

ismeretében ebből

a_{1}

-et, és hasonlóan az összes számot megkapjuk.