Kezdőlap


Feladat:	Gy.2167	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Lengyel Andrea
Füzet:	1984/október, 311 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/január: Gy.2167

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A második egyenlet kétszeresét az elsőhöz adva ${(x + y + z)}^{2} = 36$ adódik, ahonnan

\begin{matrix} | x + y + z | = 6. \end{matrix}

(1')

Világos, hogy az

(1) - (2) - (3)

és az

(1') - (2) - (3)

egyenletrendszer ekvivalens, így elegendő ez utóbbit megoldanunk.

(1')

azt jelenti, hogy vagy

x + y + z = 6

vagy

x + y + z = - 6

. Az első esetben

(2)

-t

x

-szel szorozva

\begin{matrix} x^{2} y + x^{2} z + x y z = 11 x, \end{matrix}

(2')

ahonnan

(3)

és

y + z = 6 - x

felhasználásával

\begin{matrix} x^{2} (6 - x) + 6 = 11 x, \\ x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0. \end{matrix}

Így

x

lehetséges értékei 1, 2 és 3, továbbá

y

-t és

z

-t úgy választva, hogy

y z = 6 / x, y + z = 6 - x

teljesüljön, (3) és (1

'

) automatikusan igaz lesz, és

y + z = 6 - x

miatt (2

'

), és ekkor

x \neq 0

miatt (2) is igaz. Így ebben az esetben a következő megoldást kapjuk:

\begin{matrix} x & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 \\ y & 2 & 3 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ z & 3 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 \end{matrix}

x + y + z = - 6

esetben

x

y

z

között kell negatívnak lennie, ám

x y z = 6

miatt pontosan kettő negatív. Ekkor a (2)-beli összeadandók között két negatív lesz,

x

y

és

z

közül a két negatív szorzata tehát legalább 11. Következésképp ezek négyzetösszege nagyobb 22-nél, ezért (1) nem állhat fenn. Így ebben az esetben nincs megoldás.
Végül is az (1)‐(3) egyenletrendszernek hat megoldása van, amiket a fenti táblázatban foglaltunk össze.