Kezdőlap


Feladat:	Gy.2166	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/október, 310 - 311. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/január: Gy.2166

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt állítjuk, hogy ha két racionális szám összege egész, akkor a két szám nem egyszerűsíthető alakjában a nevezők abszolút értéke egyenlő.
Valóban, ha $(p_{1}, q_{1}) = 1,$ $(p_{2}, q_{2}) = 1$ és $\frac{p_{1}}{q_{1}} + \frac{p_{2}}{q_{2}}$ egész, akkor

\begin{matrix} q_{1} q_{2} | (p_{1} \cdot q_{2} + p_{2} \cdot q_{1}) . \end{matrix}

Innen egyrészt

q_{1} | p_{1} \cdot q_{2}

, vagyis

(p_{1}, q_{1}) = 1

miatt

q_{1} | q_{2}

, másrészt ugyanígy

q_{2} | q_{1}

. A két nevező közül tehát bármelyik osztója a másiknak, abszolút értékük tehát valóban egyenlő.
A feltétel szerint a számok reciprokainak összege is egész, így nem egyszerűsíthető alakjukban a számlálók abszolút értéke is egyenlő. Azt kaptuk, hogy a keresett két racionális szám abszolút értéke egyenlő.
Nyilván megfelel bármely

0

-tól különböző racionális szám és az ellentettje, hisz ilyenkor mindkét szóban forgó összeg

0

.
Ha maguk a számok egyenlők, akkor közös értéküket

r

-rel jelölve a feltétel szerint

2 r

és

2 / r

egyaránt egészek. Mivel

2 / r = 4 / 2 r

, kapjuk, hogy

2 r

a 4-nek osztója. Innen

| r | = 2

, vagy

| r | = 1

, vagy pedig

| r | = \frac{1}{2}

; és látható, hogy minden esetben teljesül is a feltétel.
A keresett számpárok tehát az

(x, - x)

alakú számpárokon kívül ‐ ahol

x