Kezdőlap


Feladat:	Gy.2160	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/október, 309 - 310. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/december: Gy.2160

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} n^{2} + 1983 = (n + 1983) (n - 1983) + 1983 \cdot 1984 \end{matrix}

alapján

n^{2} + 1983

pontosan akkor osztható

(n + 1983)

-mal, ha

1983 \cdot 1984

is osztható vele. A keresett

n

számokat tehát úgy kapjuk meg, hogy az

A = 1983 \cdot 1984

szám

1983

-nál nem kisebb osztóiból levonunk

1983

-at.
Az

A

törzstényezős felbontása:

A = 2^{6} \cdot 3 \cdot 31 \cdot 661

. Ha ennek a számnak egy osztója legalább 1983, akkor az osztó törzstényezős felbontásában a 31 és a 661 közül legalább az egyik szerepel, hiszen az e két prím egyikével sem osztható osztók legnagyobbika,

2^{6} \cdot 3

is kisebb 1983-nál. Csoportosítsuk a keresett osztókat aszerint, hogy legnagyobb prímtényezőjük 661 vagy pedig 31.
Az első esetben azok az

m \cdot 661

alakú osztók lesznek megfelelők, melyekre

m ≧ 1983 / 661 = 3

és

m | 2^{6} \cdot 3 \cdot 31

. Ez utóbbi szám osztói

2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 31^{c}

alakúak, ahol

0 ≦ a ≦ 6, 0 ≦ b ≦ 1, 0 ≦ c ≦ 1

, egymástól függetlenül. Ez összesen 28 szám, amelyek közül csak az 1 és a 2 lesz 3-nál kisebb.
A második esetben az

m \cdot 31

alakú osztók lesznek megfelelők, melyekre

m ≧ 1983 / 31 = 63, 9

és

m | 2^{6} \cdot 3

. Látható, hogy most csupán három megfelelő

m

érték van:

m = 2^{6}

m = 2^{5} \cdot 3

és

m = 2^{6} \cdot 3

.
Összesen tehát 29 olyan

n

természetes szám van, melyekre

n^{2} + 1983

osztható

(n + 1983)

-mal. Ezeket a táblázat tartalmazza.

\begin{matrix} 661 & 31 & 3 & 2 \\ n \end{matrix}