Feladat: Gy.2158 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bükki Péter 
Füzet: 1984/május, 214. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/december: Gy.2158

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

x≠2 és x≠3, mert e két érték esetében a bal oldal nincs értelmezve. Minden más esetben a két nevező szorzatával szorozva elsőfokú egyenletet kapunk:

(x-a)(x-3)+(x-b)(x-2)=2(x-2)(x-3),(5-a-b)x=12-3a-2b,(2)


és ez az x-2≠0,x-3≠0 korlátozásokkal összekapcsolva ekvivalens az eredeti egyenlettel. Paraméterektől függő elsőfokú egyenlet két esetben oldható meg.
 

I. Ha mind az ismeretlen együtthatója mind az ismeretlentől mentes tag 0-val egyenlő; ebben az esetben minden megengedett x érték kielégíti az egyenletet, vagyis a megoldás nem egyértelmű;
 

II. ha az ismeretlen együtthatója 0-tól különböző, és az adódó gyök nem kizárt érték; ez a megoldás - ha létezik - egyértelmű.
Feladatunkban az I. eset feltételei:
5-a-b=0,12-3a-2b=0.


Az első egyenlet 2-szeresét a másodikból kivonva 2-a=0, az első egyenlet 3-szorosából a másodikat kivonva 3-b=0, azaz bármely x érték kielégíti (1)-et, ha a=2 és b=3 (kivéve természetesen a kizárt x=2 és x=3 értékeket). Valóban, ekkor a bal oldalon mindkét tört kifejezése 1, összegük 2.
A II. eset feltétele 5-a-b≠0, azaz a+b≠5. Ekkor
x=12-3a-2b5-a-b,(3)
és a megoldás egyértelmű, hacsak x≠2 és x≠3. Keressük meg a paramétereknek a kizárt értékre vezető, tehát kizárandó értékpárjait. (3) alapján:
x-2=12-3a-2b5-a-b-2=2-a5-a-b,x-3=b-35-a-b.


Az első az a=2 esetben válik 0-vá, és ezt a feltételbe helyettesítve b≠3; a második miatt hasonlóan a b=3, a≠2 értékpárok zárandók ki. Ezek szerint a (3) megoldás egyértelmű, ha
a+b≠5,a≠2,b≠3.

Összefoglalva, (1) megoldható, ha a=2 és b=3, valamint ha a+b≠5 és a≠2 és b≠3. Ez utóbbi esetben a megoldás egyértelmű, az előbbiben nem.
 

Megjegyzés. A feladatnak ez a megoldása a ,,Középiskolai matematikai versenyek'' című könyv 1967. évi kiadásának 35. oldalán megtalálható.