A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. és , mert e két érték esetében a bal oldal nincs értelmezve. Minden más esetben a két nevező szorzatával szorozva elsőfokú egyenletet kapunk:
és ez az korlátozásokkal összekapcsolva ekvivalens az eredeti egyenlettel. Paraméterektől függő elsőfokú egyenlet két esetben oldható meg. I. Ha mind az ismeretlen együtthatója mind az ismeretlentől mentes tag -val egyenlő; ebben az esetben minden megengedett érték kielégíti az egyenletet, vagyis a megoldás nem egyértelmű; II. ha az ismeretlen együtthatója -tól különböző, és az adódó gyök nem kizárt érték; ez a megoldás ha létezik egyértelmű. Feladatunkban az I. eset feltételei:
Az első egyenlet 2-szeresét a másodikból kivonva , az első egyenlet 3-szorosából a másodikat kivonva , azaz bármely érték kielégíti (1)-et, ha és (kivéve természetesen a kizárt és értékeket). Valóban, ekkor a bal oldalon mindkét tört kifejezése , összegük . A II. eset feltétele , azaz . Ekkor és a megoldás egyértelmű, hacsak és . Keressük meg a paramétereknek a kizárt értékre vezető, tehát kizárandó értékpárjait. (3) alapján:
Az első az esetben válik -vá, és ezt a feltételbe helyettesítve ; a második miatt hasonlóan a , értékpárok zárandók ki. Ezek szerint a (3) megoldás egyértelmű, ha Összefoglalva, (1) megoldható, ha és , valamint ha és és . Ez utóbbi esetben a megoldás egyértelmű, az előbbiben nem.
Megjegyzés. A feladatnak ez a megoldása a ,,Középiskolai matematikai versenyek'' című könyv 1967. évi kiadásának 35. oldalán megtalálható. |