Kezdőlap


Feladat:	Gy.2155	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benczúr A. , Bóna M. , Grellert Ágnes , Jedlovszky P. , Rimányi R. , Szalay Gy.
Füzet:	1984/április, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: Gy.2155

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ csúcsból induló szögfelezőnek a szemközti oldallal és körülírt körrel való metszéspontját jelölje rendre $E$ és $F$ , a szögfelezők metszéspontját, amely egyben a beírt kör középpontja is, pedig $O$ (1. ábra).

1. ábra

A kerületi szögek tételéből

C B F ∢ = C A F ∢ = B A F ∢ = B C F ∢ = \frac{α}{2}

. A

B O F ∢

külső szöge az

A B O

háromszögnek, és így

\begin{matrix} B O F ∢ = O B A ∢ + B A O ∢ = \frac{β}{2} + \frac{α}{2} = O B F ∢ . \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} C O F ∢ = \frac{α}{2} + \frac{y}{2} = O C F ∢, \end{matrix}

vagyis

O F B

és

O F C

egyenlő szárú háromszögek,

B F = O F = C F

.

Az

A F C

és

C F E

háromszögekben

F C E ∢ = C A F ∢ = \frac{α}{2}

, és

E F C ∢

közös, így e két háromszög hasonló. Megfelelő oldalaikra

A F : F C = F C : F E

, ahonnan

F C = \sqrt[]{A F \cdot E F}

2. ábra

Ilyen módon tehát az

F C

szakasz szerkeszthető. Az

A F

szakasz

E

pontjában állított merőleges egyenesnek az

A F

Thalész-körével alkotott

C'

metszéspontjára

F C' = \sqrt[]{A F \cdot E F}

(2. ábra). Az

F

középpontú,

C'

-n áthaladó kör kimetszi az

A F

szakaszból a beírt kör

O

középpontját. A beírt kört ezek után adott pontjának ismeretében meg tudjuk rajzolni.

A

-ból és

E

-ből a beírt körhöz érintőket húzva megkapjuk a keresett háromszög oldalait.
A szerkeszthetőség feltétele, hogy az

A

pont a beírt körön kívül legyen,

E

pedig ne essen a kör belsejébe, továbbá

O E < O A

teljesüljön. Ez utóbbi feltétel

O E = C' F - F E

, és

O A = A F - C' F

miatt egyenértékű azzal, hogy

2 C' F < A F + E F

, ami a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség alapján mindig teljesül.
A másik két feltétel adatainkkal felirva:

\begin{matrix} O P < A F - \sqrt[]{A F \cdot F E}, ill. O P \leq \sqrt[]{A F \cdot F E} - F E . \end{matrix}

Ez utóbbiban ha egyenlőség áll fenn, a szerkesztés eredményeként egyenlő szárú háromszöget kapunk, ha egyenlőtlenség, akkor két, az

A F

-re tükrös háromszöget.